Soit la surface d'équation [formule]. Déterminer sa nature et son équation réduite.
Diagonaliser la matrice de la forme quadratique associée.
Cet exercice se distingue des autres du même chapitre par un détail qui change la méthode : les valeurs propres sont irrationnelles. On ne peut donc pas les extraire une par une comme d'habitude — il faut travailler avec le polynôme, ce qui est plus rapide et plus sûr. La matrice. [formule] le coefficient de [formule] valant [formule], donc [formule]. La matrice est diagonale par blocs, ce qui isole immédiatement la valeur propre [formule]. Le polynôme caractéristique. [formule] Le trinôme a pour discriminant [formule] et pour racines [formule], soit numériquement [formule] et [formule]. Le signe, sans calculer les racines. C'est le point de méthode : inutile d'extraire [formule]. Le trinôme [formule] a pour somme des racines [formule] et pour produit [formule] : ses deux racines sont donc strictement positives. Avec [formule], la signature est [formule] et la surface est un ellipsoïde. Le raisonnement par somme et produit évite tout radical et se généralise. Contrôles. La trace vaut [formule], et la somme des valeurs propres [formule] ✓. Le déterminant vaut [formule], et le produit [formule] ✓ — le produit des deux racines du trinôme étant son terme constant. L'équation réduite et les demi-axes. [formule] soit des demi-axes [formule]. Fait remarquable : [formule] et [formule] sont exactement les relations vérifiées par [formule] et [formule], où [formule] est le nombre d'or. Les demi-axes valent donc [formule] Leur produit est [formule], cohérent avec le volume [formule]. ⚠️ Le second membre change les demi-axes, jamais le TYPE. Ici l'équation est [formule] et non [formule] : les demi-axes valent [formule] et non [formule]. Oublier de diviser par [formule] donnerait des axes deux fois trop courts, tout en laissant la conclusion « ellipsoïde » intacte — l'erreur ne se voit donc pas dans la nature de la surface, seulement dans ses dimensions. Toujours normaliser le second membre à [formule] avant de lire les axes. 💡 À retenir. Pour classifier, la signature suffit et elle s'obtient sans racines : somme et produit des racines du polynôme caractéristique, ou critère de Sylvester sur les mineurs principaux dominants. Pour les axes, en revanche, il faut les valeurs propres numériques. Séparer les deux questions évite de calculer des radicaux dont on n'a pas besoin.