Soit [formule] la rotation de [formule] d'axe dirigé par le vecteur unitaire [formule] et d'angle [formule]. Montrer la formule de Rodrigues : [formule].
Décomposer [formule] en composante parallèle et perpendiculaire à [formule].
La décomposition en composantes parallèle et orthogonale est la bonne idée, et la démonstration est correcte. Ce qu'il faut y ajouter est la forme matricielle, qui est celle qu'on utilise en pratique — et les deux contrôles qui permettent de vérifier une rotation en trois secondes. Décomposition. Écrivons [formule] avec [formule] La rotation d'axe [formule] fixe la composante parallèle et fait tourner la composante orthogonale d'un angle [formule] dans le plan [formule]. La rotation dans le plan orthogonal. Le couple [formule] est une base orthogonale de même norme de ce plan — car [formule] est unitaire et orthogonal à [formule], donc [formule]. C'est un repère direct, et la rotation d'angle [formule] y agit comme dans le plan : [formule] Recollement. Comme [formule], on a [formule]. En additionnant les deux composantes et en remplaçant [formule] par [formule] : [formule] La forme matricielle, qui est celle qu'on programme. Notons [formule] la matrice du produit vectoriel par [formule], c'est-à-dire [formule] : [formule] Comme [formule] (vérifié numériquement à [formule] près), la formule se réécrit [formule] Trois produits matriciels, aucun changement de base — c'est la formule utilisée en robotique et en infographie. Les deux contrôles qui valident une rotation. D'abord [formule] : l'axe doit être fixe. Ensuite la trace : [formule] puisque [formule] et [formule]. D'où la formule inverse [formule], qui retrouve l'angle d'une rotation donnée par sa matrice. Contrôles numériques sur [formule] et [formule] : [formule], [formule], [formule], et [formule]. ✓ ⚠️ La formule exige [formule] UNITAIRE, et l'oubli est silencieux. Avec [formule], le terme [formule] est multiplié par [formule] et le produit vectoriel par [formule] : la matrice obtenue n'est plus orthogonale, sans que rien ne le signale — elle a l'air d'une matrice de rotation. Le contrôle [formule] l'attrape immédiatement, et c'est pourquoi il faut le faire. 💡 À retenir. Rodrigues est l'exponentielle matricielle déguisée : [formule], ce qui se voit en développant la série et en utilisant [formule] pour regrouper les termes en [formule] et [formule] — c'est le même mécanisme que [formule] pour la rotation plane. Elle réalise l'isomorphisme entre l'algèbre de Lie [formule] des matrices antisymétriques et [formule] muni du produit vectoriel, et c'est le pont entre le paramétrage axe-angle et les quaternions unitaires.