Soit la famille de cercles [formule] d'équation [formule] paramétrée par [formule], avec [formule]. Déterminer l'enveloppe de cette famille.
L'enveloppe est obtenue en résolvant le système [formule] et [formule].
La méthode du système [formule], [formule] est la recette standard. Elle appelle deux réserves qu'il faut connaître : ce qu'elle produit n'est pas exactement l'enveloppe, et le résultat obtenu ici demande une vérification de tangence que le calcul ne fournit pas. Rappel — le système de l'enveloppe. Une enveloppe d'une famille [formule] est une courbe tangente à chaque [formule] en au moins un point. Si [formule] a pour équation [formule], tout point de l'enveloppe vérifie [formule] Géométriquement : le point de tangence est la position limite des intersections de [formule] et [formule] quand [formule], et la seconde équation est la forme infinitésimale de cette coïncidence. La dérivation. [formule], donc [formule] les termes [formule] se compensant. La condition devient [formule] c'est-à-dire que [formule] est colinéaire à [formule] : le point de tangence est aligné avec l'origine et le centre du cercle. C'est géométriquement évident a posteriori, mais c'est le calcul qui le donne. Substitution. Posons [formule]. La colinéarité donne [formule], et [formule] devient [formule] D'où [formule] ou [formule] : l'enveloppe est la réunion de deux cercles concentriques, de rayons [formule] et [formule]. C'est la couronne balayée par la famille, et l'on retrouve bien [formule] pour que le petit cercle soit non dégénéré. La vérification de tangence, que le système ne donne pas. Un point de l'enveloppe doit être sur le cercle [formule] correspondant, donc à distance exactement [formule] de son centre [formule]. Contrôle avec [formule] : pour [formule], [formule] et [formule], et pour chacun des deux rayons, la distance du point de l'enveloppe au centre de [formule] vaut [formule] dans les six cas. ✓ ⚠️ Le système donne l'ensemble DISCRIMINANT, qui contient l'enveloppe mais peut contenir davantage. Il attrape aussi les points singuliers des courbes de la famille — points de rebroussement, points doubles —, qui vérifient les deux équations sans être des points de tangence. Ici les [formule] sont des cercles, partout lisses, donc les deux ensembles coïncident. Ce n'est pas automatique : pour une famille de cardioïdes, par exemple, le lieu des rebroussements apparaîtrait dans le système sans être une enveloppe. 💡 À retenir. L'enveloppe d'une famille de droites est le classique le plus utile — celle des normales à une courbe est sa développée, lieu des centres de courbure. Et la même méthode donne la caustique d'un miroir, l'astroïde comme enveloppe des segments de longueur fixe glissant sur deux axes, ou la parabole de sûreté d'un tir balistique. Dans tous les cas, penser à vérifier la tangence : le système est une condition nécessaire.