Calculer le volume d'un tétraèdre régulier d'arête [formule].
Placer le tétraèdre dans un cube ou utiliser la formule [formule].
Le calcul direct par « base fois hauteur » demande de connaître la position du centre de gravité d'un triangle équilatéral. Il existe une seconde voie, sans aucune trigonométrie : inscrire le tétraèdre dans un cube. Les deux se contrôlent l'une l'autre, et la seconde donne le résultat en une ligne. Voie directe — l'aire de la base. La base est un triangle équilatéral de côté [formule], de hauteur [formule], donc d'aire [formule] La hauteur du tétraèdre. Le pied de la hauteur est le centre de gravité de la base, situé à distance [formule] de chaque sommet — c'est le rayon du cercle circonscrit au triangle équilatéral, égal aux deux tiers de la médiane [formule]. Par Pythagore dans le triangle rectangle formé par une arête latérale, la hauteur et ce rayon : [formule] Le volume. [formule] Numériquement, [formule] — environ un huitième du cube d'arête [formule], ce qui est un ordre de grandeur utile pour vérifier qu'on ne s'est pas trompé d'un facteur. Voie du cube — le contrôle indépendant. Prenons le cube [formule] et les quatre sommets [formule], [formule], [formule], [formule] : deux à deux, ils sont aux extrémités de diagonales de faces, donc toutes les arêtes mesurent [formule] — vérifié, les six distances sont égales. C'est bien un tétraèdre régulier d'arête [formule]. Son volume s'obtient en retranchant au cube les quatre coins, chacun d'un volume [formule] : [formule] Contrôle : la formule donne [formule]. ✓ Les deux voies concordent, et le calcul par déterminant confirme [formule]. ⚠️ Le centre de gravité n'est PAS à mi-hauteur, ni le pied de la hauteur au milieu d'un côté. Le centre de gravité d'un triangle est aux deux tiers de la médiane depuis le sommet, donc à [formule] des sommets et à [formule] des côtés — deux valeurs différentes, qu'on confond facilement. Utiliser [formule] donnerait [formule] et un volume faux d'environ [formule], sans que rien ne le signale. 💡 À retenir. La construction dans le cube vaut aussi pour l'octaèdre (centres des faces du cube) et se généralise : les cinq solides de Platon s'inscrivent les uns dans les autres. Retenir aussi que [formule] se réécrit [formule], et que le rapport du volume du tétraèdre régulier à celui de sa sphère circonscrite est le plus petit de tous les solides de Platon — c'est le moins « rempli » des cinq.