Soit [formule] définie par [formule]. Déterminer la nature de [formule] et ses éléments caractéristiques.
Écrire [formule] et chercher le point fixe.
Toute application [formule] avec [formule] est une similitude directe, et ses trois éléments — rapport, angle, centre — se lisent sur [formule] et [formule] sans aucune géométrie. C'est la force de l'écriture complexe, et il faut savoir exactement où chaque élément se trouve. Rappel — la forme canonique. Pour [formule], l'application [formule] admet un unique point fixe [formule], et elle s'écrit alors [formule] C'est la forme réduite : [formule] est la composée de l'homothétie de centre [formule] et de rapport [formule], et de la rotation de même centre et d'angle [formule] — les deux commutant. Le cas [formule] est à part : [formule] est alors une translation, sans point fixe. Rapport et angle. Ici [formule], donc [formule] Comme [formule], ce n'est pas une isométrie : les longueurs sont multipliées par [formule] et les aires par [formule]. Le centre. [formule] donne [formule], donc [formule] Contrôle : [formule]. ✓ La multiplication par [formule] au numérateur et au dénominateur est le réflexe pour diviser par un imaginaire pur — on évite ainsi le conjugué. Conclusion. [formule] est la similitude directe de centre [formule], de rapport [formule] et d'angle [formule]. ⚠️ Une similitude INDIRECTE s'écrit avec [formule], et rien de ce qui précède ne s'y applique. La forme générale est [formule] ; elle renverse l'orientation, son « angle » n'a pas de sens, et elle n'a pas nécessairement de point fixe unique — elle peut en avoir une droite entière (réflexion) ou aucun. Vérifier la présence de [formule] avant de chercher un centre est le premier réflexe. Le groupe des similitudes directes. Les applications [formule] avec [formule] forment un groupe, isomorphe au produit semi-direct [formule]. La composée de deux similitudes de rapports [formule] et d'angles [formule] est une similitude de rapport [formule] et d'angle [formule] — les rapports se multiplient, les angles s'ajoutent, ce qui se lit immédiatement sur le produit des [formule]. Le sous-groupe [formule] est celui des déplacements du plan. 💡 À retenir. La lecture directe : [formule] est le rapport, [formule] l'angle, [formule] le centre — et [formule] signale une translation de vecteur [formule]. Les similitudes directes sont exactement les applications du plan conservant les angles orientés, et ce sont aussi, en analyse complexe, les fonctions holomorphes de dérivée constante non nulle : la conformité locale d'une fonction holomorphe est ce résultat lu au premier ordre.