Soit [formule] un convexe fermé non vide d'un espace de Hilbert [formule]. Montrer que pour tout [formule], il existe un unique [formule] tel que [formule], et que [formule] est caractérisé par : [formule] pour tout [formule].
Montrer l'existence par complétude (suite minimisante), l'unicité par la loi du parallélogramme.
Existence : soit [formule] une suite minimisante dans [formule] : [formule]. Loi du parallélogramme : [formule]. Par convexité [formule], donc [formule]. Ainsi [formule]. [formule] est de Cauchy dans [formule] complet, converge vers [formule] (fermé). Unicité par le même argument. Caractérisation : pour [formule], [formule], [formule]. [formule]. [formule], d'où [formule]. [formule]