Soit [formule] un convexe fermé non vide d'un espace de Hilbert [formule]. Montrer que pour tout [formule], il existe un unique [formule] tel que [formule], et que [formule] est caractérisé par : [formule] pour tout [formule].
Montrer l'existence par complétude (suite minimisante), l'unicité par la loi du parallélogramme.
Le théorème est le socle de toute l'analyse hilbertienne, et sa démonstration est un modèle : l'existence par une suite minimisante, l'unicité par la loi du parallélogramme, et la caractérisation par une dérivée en zéro. Chacune des trois hypothèses — convexe, fermé, complet — sert à un endroit précis, et il faut savoir lequel. Existence. Soit [formule] et [formule] une suite de [formule] avec [formule]. La loi du parallélogramme appliquée à [formule] et [formule] donne [formule] La convexité assure que [formule], donc que le dernier terme est [formule], d'où [formule] La suite est de Cauchy ; la complétude de [formule] lui donne une limite [formule], et le fait que [formule] soit fermé garantit [formule]. Les trois hypothèses ont servi, chacune une fois. Unicité. Le même calcul avec deux minimiseurs [formule] et [formule] donne [formule], donc [formule]. C'est le même argument, appliqué à la suite constante par morceaux [formule] La caractérisation — sens direct. Pour [formule] et [formule], la convexité donne [formule], donc [formule] La fonction [formule] est un trinôme en [formule] atteignant son minimum sur [formule] en [formule], donc [formule]. Or [formule], d'où [formule] La réciproque, qui manquait et qui fait de l'énoncé une caractérisation. Supposons [formule] pour tout [formule], avec [formule]. Alors [formule] les deux derniers termes étant positifs. Donc [formule] réalise bien le minimum. L'inégalité caractérise donc la projection, ce qui la rend utilisable comme critère. L'interprétation géométrique. [formule] signifie que l'angle en [formule] entre [formule] et [formule] est obtus pour tout [formule] du convexe : le convexe est entièrement d'un côté de l'hyperplan passant par [formule] et orthogonal à [formule]. C'est un hyperplan d'appui, et l'on tient là le germe du théorème de Hahn-Banach géométrique. ⚠️ Si [formule] est un sous-ESPACE, l'inégalité devient une ÉGALITÉ. Un sous-espace étant stable par [formule], l'inégalité vaut aussi pour l'opposé, d'où [formule] : on retrouve la projection orthogonale usuelle, et [formule]. La forme inégalitaire est donc ce qui reste quand on perd la structure linéaire — et elle est essentielle, car sur un convexe quelconque l'égalité est fausse dès que [formule] est sur le bord. 💡 À retenir. La projection [formule] est [formule]-lipschitzienne — [formule], en additionnant les deux inégalités de caractérisation — donc continue, ce qui n'a rien d'évident sur un convexe quelconque. Le théorème échoue si l'on retire une hypothèse : sans convexité l'unicité tombe (un point équidistant de deux points d'une sphère), sans fermeture l'existence tombe, et sans complétude aussi — sur un préhilbertien non complet, un convexe fermé peut n'avoir aucun point le plus proche.