Étudier la courbe paramétrée [formule]. Montrer qu'il s'agit d'un cercle privé d'un point.
Calculer [formule] et identifier le point manquant.
Le calcul de [formule] règle la question en deux lignes. Ce qui mérite plus d'attention est le point manquant — pourquoi il manque, et ce que cela dit de la paramétrisation. Cette construction est la source de toutes les identités rationnelles de la trigonométrie et des triplets pythagoriciens. La courbe est sur le cercle unité. [formule] Tout point [formule] appartient donc au cercle unité, et le dénominateur [formule] ne s'annule jamais : [formule] est définie sur [formule] tout entier. Le point manquant. [formule] équivaut à [formule], c'est-à-dire [formule] : impossible. Le point [formule] n'est donc jamais atteint. Il est pourtant la limite : quand [formule], [formule] et [formule]. L'image est exactement le cercle unité privé de [formule]. Pourquoi la surjectivité est vraie ailleurs — la construction géométrique. Le procédé est la projection stéréographique depuis le point exclu : à chaque [formule] correspond le second point d'intersection du cercle avec la droite passant par [formule] de pente convenable. Tout point du cercle autre que le pôle est ainsi atteint une fois et une seule, ce qui prouve à la fois la surjectivité sur le complémentaire et l'injectivité. Le pôle, lui, est manqué parce que la droite y est tangente. ⚠️ Le paramètre n'est PAS [formule], contrairement à ce qu'on écrit souvent. La paramétrisation standard par l'angle moitié est [formule] et elle manque le point [formule]. Celle de l'énoncé a [formule] de signe opposé : elle s'en déduit par [formule], donc le paramètre vaut ici [formule] où [formule] est l'angle polaire du point. Contrôle : [formule] donne [formule], d'angle [formule], et [formule] ✓ ; [formule] donne [formule], d'angle [formule], et [formule] ✓. C'est cohérent avec le point manquant : [formule] correspond à [formule], donc à [formule]. Ce que la paramétrisation rationnelle sert à faire. Elle donne les triplets pythagoriciens : en écrivant [formule] rationnel, on obtient [formule] Avec [formule] : [formule]. Tous les triplets primitifs s'obtiennent ainsi. Et en analyse, la substitution [formule] rationalise toute intégrale de fraction rationnelle en [formule] et [formule] — c'est la règle de Bioche de dernier recours. 💡 À retenir. Une conique possédant un point rationnel en possède une infinité, obtenus par projection stéréographique depuis ce point — c'est le principe de la méthode des sécantes en géométrie arithmétique. Le point de départ est indispensable : [formule] n'a aucun point rationnel, et aucune paramétrisation rationnelle. Cette même idée, appliquée aux courbes de genre [formule], donne la loi de groupe des courbes elliptiques.