Soient [formule] la réflexion d'axe [formule] et [formule] la réflexion d'axe [formule]. Déterminer la nature de [formule].
La composée de deux réflexions d'axes sécants est une rotation.
Le calcul direct suffit, mais il vaut mieux connaître le résultat général — il évite tout calcul et il explique pourquoi les réflexions engendrent le groupe des isométries. Il faut en revanche faire attention à un point que l'énoncé passe sous silence : l'ordre de composition. Le calcul direct. [formule] est la réflexion d'axe [formule], donc [formule] ; [formule] est celle d'axe [formule], donc [formule] — elle échange les coordonnées. D'où [formule] La matrice est [formule] : c'est la rotation de centre [formule] et d'angle [formule]. L'origine est fixe car elle appartient aux deux axes. Le résultat général. La composée de deux réflexions d'axes sécants en [formule], formant entre eux un angle orienté [formule], est la rotation de centre [formule] et d'angle [formule]. Ici [formule] fait un angle [formule] avec l'axe des abscisses et [formule] un angle [formule], donc [formule] et l'angle de rotation vaut [formule] — conforme au calcul. ⚠️ L'ORDRE compte : [formule]. En composant dans l'autre sens, [formule] soit la rotation d'angle [formule]. Contrôle : [formule] tandis que [formule]. Les deux composées sont inverses l'une de l'autre, ce qui est général — l'angle [formule] est orienté, et échanger les réflexions change son signe. Le groupe des isométries n'est pas commutatif, et c'est ici qu'on le voit le plus simplement. Les deux cas selon la position des axes. Sécants en [formule] d'angle [formule] : rotation de centre [formule], d'angle [formule]. Parallèles, distants de [formule] : la composée est la translation de vecteur [formule], orthogonal aux axes. Les deux énoncés se réunissent en un seul si l'on voit une translation comme une rotation de centre à l'infini. Ce que le résultat entraîne. Toute rotation se décompose en deux réflexions, et de plusieurs façons : on peut choisir librement le premier axe passant par le centre, le second étant alors imposé. Cette liberté est ce qui rend les décompositions maniables — pour composer deux rotations de centres différents, on choisit les axes de sorte que la réflexion médiane se simplifie. C'est ainsi qu'on démontre que la composée de deux rotations d'angles [formule] et [formule] est une rotation d'angle [formule], ou une translation si [formule]. 💡 À retenir. Les réflexions engendrent le groupe des isométries planes, et la parité du nombre de facteurs donne le caractère direct ou indirect — c'est la traduction géométrique du déterminant. Le théorème de Cartan-Dieudonné borne ce nombre : au plus [formule] dans le plan, au plus [formule] en dimension [formule].