Soient [formule] et [formule] deux points distincts du plan. Déterminer le lieu des points [formule] tels que [formule] (constante donnée).
Utiliser la réduction par le barycentre [formule] de [formule] et [formule].
L'exercice illustre la technique standard des lieux définis par une somme pondérée de carrés : remplacer les distances aux points par une distance au barycentre. Une fois cette réduction faite, le lieu devient un cercle et la discussion se réduit au signe d'une constante. Rappel — la formule de Leibniz. Pour des points pondérés [formule] de masse totale [formule] et de barycentre [formule], [formule] La démonstration tient en une ligne : développer [formule], et le double produit [formule] s'annule par définition du barycentre. C'est cette annulation qui fait tout le travail. (À ne pas confondre avec le critère de Leibniz sur les séries alternées, qui n'a rien à voir.) Le barycentre. [formule], d'où [formule] Le barycentre est plus proche du point le plus lourd — masse [formule] en [formule], donc [formule] est aux deux cinquièmes de [formule] depuis [formule]. La constante. [formule] Contrôle numérique : sur quatre configurations tirées au hasard, [formule] et [formule] coïncident à la précision machine. Le lieu, et sa discussion complète. L'équation devient [formule] Trois cas selon le signe du second membre : [formule] La valeur [formule] est donc le minimum de [formule], atteint en [formule] — ce qui est la lecture variationnelle de la formule : le barycentre minimise la somme pondérée des carrés des distances. ⚠️ La formule tombe si la masse totale est NULLE. Le barycentre n'existe alors pas, et le développement laisse le terme [formule], linéaire en [formule] : le lieu de [formule] est une droite et non un cercle. Par exemple [formule] décrit une droite perpendiculaire à [formule] — c'est l'axe radical. Vérifier [formule] avant d'invoquer Leibniz. 💡 À retenir. La formule sert bien au-delà des lieux géométriques : c'est le théorème de König-Huygens en probabilités, où [formule] est minimale en [formule] et vaut alors la variance ; et c'est le théorème de transport de Steiner en mécanique, où le moment d'inertie par rapport à un axe vaut celui par rapport à l'axe parallèle passant par le centre de masse, plus [formule]. Trois énoncés, une seule identité.