Soit le triangle [formule] avec [formule], [formule], [formule]. Déterminer le centre et le rayon du cercle inscrit.
Le rayon du cercle inscrit est [formule] où [formule] est l'aire et [formule] le demi-périmètre.
Le calcul est court, et l'exercice devient formateur si l'on obtient le centre autrement que par « le triangle est rectangle donc [formule] » — argument juste ici, mais qui ne se généralise pas. La formule barycentrique, elle, marche pour tout triangle et donne le même résultat. Les longueurs. [formule], [formule], et [formule] par Pythagore, l'angle en [formule] étant droit. C'est le triangle [formule]-[formule]-[formule], homothétique du [formule]-[formule]-[formule]. Rayon par la formule de l'aire. Le rayon du cercle inscrit vérifie [formule] où [formule] est le demi-périmètre. La raison est un découpage : en joignant [formule] aux trois sommets, on partage le triangle en trois triangles de hauteurs [formule] et de bases [formule], [formule], [formule], d'aire totale [formule]. Ici [formule] Contrôle par la formule du triangle rectangle. Pour un triangle rectangle d'hypoténuse [formule], [formule], soit ici [formule]. ✓ Cette formule se lit sur la figure : les deux tangentes issues du sommet droit valent [formule], et les longueurs de tangentes depuis les autres sommets se recomposent en [formule]. Le centre par les coordonnées barycentriques. Le centre du cercle inscrit a pour coordonnées [formule] — les longueurs des côtés opposés aux sommets. Avec [formule], [formule], [formule] : [formule] On retrouve [formule] sans utiliser que le triangle est rectangle — et cette méthode vaut pour n'importe quel triangle. Contrôle final : la distance aux trois côtés. Elle doit valoir [formule] pour les trois. À [formule] (droite [formule]) : [formule]. ✓ À [formule] (droite [formule]) : [formule]. ✓ À [formule], d'équation [formule] : [formule]. ✓ C'est le seul contrôle qui teste à la fois le centre et le rayon, et il faut faire les trois côtés — deux suffiraient à confirmer un mauvais point. ⚠️ Ne pas confondre les quatre centres du triangle. Le centre du cercle inscrit est l'intersection des bissectrices intérieures, en [formule]. Le circonscrit est l'intersection des médiatrices, en [formule] ; pour un triangle rectangle, c'est le milieu de l'hypoténuse, ici [formule] — bien différent de [formule]. Le centre de gravité est en [formule], soit [formule], et l'orthocentre est en [formule] pour un triangle rectangle. 💡 À retenir. Trois formules pour le rayon inscrit : [formule], toujours valable ; [formule] pour un triangle rectangle ; et [formule] en fonction du rayon circonscrit. Et retenir la formule de Héron [formule], qui donne l'aire sans hauteur — ici [formule].