Calculer la courbure de la courbe plane paramétrée par [formule] (astroïde) pour [formule].
Utiliser [formule].
Le calcul est déjà mené proprement, signe du déterminant compris. Ce qui manque est la lecture du résultat : la courbure explose aux extrémités, et ce n'est pas un accident de calcul mais la signature des points de rebroussement — l'astroïde n'est pas une courbe régulière partout, et c'est pourquoi l'énoncé restreint à [formule]. Les dérivées. [formule] et [formule] donnent [formule] puis, en dérivant à nouveau, [formule] Le déterminant. En factorisant [formule] dans les deux produits, le crochet restant est [formule], d'où [formule] ⚠️ Le déterminant est NÉGATIF, et c'est la valeur absolue qui entre dans la courbure. Sur [formule], l'astroïde est parcourue dans le sens horaire : le signe traduit l'orientation, pas une erreur. L'oublier donnerait un [formule], ce qui n'a pas de sens pour la courbure non signée. La courbure algébrique, elle, garde ce signe et change quand on renverse le paramétrage. Le résultat. [formule], donc [formule] et [formule] Contrôles numériques avec [formule] : [formule], [formule], [formule] — identiques au calcul direct par la formule générale. Lecture du résultat. [formule] est minimale en [formule], où elle vaut [formule] : c'est le point le plus « plat » de l'arc, sur la bissectrice. Et elle tend vers [formule] quand [formule] ou [formule] : le rayon de courbure s'annule. C'est la signature d'un rebroussement — et de fait [formule], la courbe n'y est pas régulière. La formule cesse d'y être définie, ce qui explique la restriction de l'énoncé. ⚠️ L'astroïde n'est pas régulière en ses quatre sommets, donc les théorèmes usuels n'y valent pas. Elle a pourtant une longueur finie — [formule] au total — et une aire finie, [formule]. Une courbe peut donc être rectifiable sans être partout dérivable de dérivée non nulle : régularité et rectifiabilité sont deux notions distinctes, et l'astroïde est l'exemple standard qui les sépare. 💡 À retenir. L'astroïde est l'hypocycloïde à quatre rebroussements — la trace d'un point d'un cercle de rayon [formule] roulant à l'intérieur d'un cercle de rayon [formule]. C'est aussi l'enveloppe de la famille des segments de longueur [formule] dont les extrémités glissent sur les deux axes, ce qui donne son équation cartésienne [formule] et explique la forme concave.