Soit la conique [formule] d'équation [formule]. Déterminer sa nature et son équation réduite.
Diagonaliser la matrice de la forme quadratique [formule] et effectuer un changement de repère.
La méthode par changement de base fonctionne mais fait manipuler les termes linéaires dans le nouveau repère, ce qui est long et propice aux erreurs. Il existe un raccourci pour les coniques à centre : trouver le centre d'abord, et l'équation réduite s'en déduit sans jamais transformer la partie linéaire. Diagonaliser la partie quadratique. [formule] a pour matrice [formule], de polynôme caractéristique [formule]. Les valeurs propres sont [formule] et [formule], toutes deux positives : la conique est de type elliptique, et elle a un centre. Vecteurs propres : [formule] pour [formule], et [formule] pour [formule] — orthogonaux, comme il se doit pour une matrice symétrique. Le raccourci : trouver le centre. Le centre [formule] d'une conique à centre annule le gradient de [formule] : [formule] En soustrayant : [formule], donc [formule]. Contrôle : [formule] et [formule]. ✓ L'équation réduite tombe alors immédiatement. Une translation à l'origine du centre annule exactement les termes de degré [formule], et le terme constant devient [formule]. Ici [formule] donc dans le repère centré et diagonalisé, [formule] Autrement dit [formule] : une ellipse de demi-axes [formule] et [formule], le grand axe étant porté par le vecteur propre de la plus petite valeur propre, ici [formule]. Contrôle par la voie longue. Le changement de base complet donne [formule] ; en complétant le carré, [formule], d'où [formule]. Même résultat, en trois fois plus de calcul. Vérification numérique : les deux expressions coïncident sur quatre couples [formule] testés. ⚠️ Le raccourci ne vaut QUE pour les coniques à centre, c'est-à-dire quand [formule]. Si [formule] — type parabolique — le système du gradient est incompatible ou indéterminé, il n'y a pas de centre, et il faut passer par le changement de base complet puis une complétion de carré partielle. C'est exactement le cas de l'exercice voisin sur la parabole, et c'est ce qui distingue les deux méthodes. 💡 À retenir. La classification se lit sur deux déterminants. [formule] donne le type : positif [formule] elliptique, négatif [formule] hyperbolique, nul [formule] parabolique. Puis le déterminant de la matrice [formule] complète (avec les termes linéaires en bordure) distingue les cas propres des cas dégénérés — point, droites, ensemble vide. Ici [formule] et la conique est propre : ellipse réelle.