Équation réduite d'une conique

Énoncé

Soit la conique [formule] d'équation [formule]. Déterminer sa nature et son équation réduite.

Indication

Diagonaliser la matrice de la forme quadratique [formule] et effectuer un changement de repère.

Solution

Matrice de [formule] : [formule]. Polynôme caractéristique : [formule], [formule], [formule]. Vecteurs propres : pour [formule] : [formule] ; pour [formule] : [formule]. Dans le nouveau repère [formule] : [formule]. L'équation devient [formule] (calcul des termes linéaires par changement de base). Après complétion des carrés : [formule]. Si [formule] : c'est une ellipse. Calcul : centre [formule] et équation réduite [formule], soit [formule]. Ellipse de demi-axes [formule] et [formule]. [formule]