Soit [formule] définie par [formule]. Déterminer la nature de [formule] (translation, rotation, réflexion ou réflexion glissée) et ses éléments caractéristiques.
Écrire [formule] sous la forme [formule] et analyser la partie linéaire [formule].
La méthode est invariable : séparer la partie linéaire de la translation, lire le déterminant, puis chercher les points fixes. Le seul point qui demande un peu d'attention est pourquoi on sait à l'avance qu'il y a exactement un point fixe — c'est un déterminant, pas une chance. Écriture affine. [formule] La lecture se fait colonne par colonne : la première colonne de [formule] est l'image de [formule] privée du terme constant, soit [formule] ; la seconde est celle de [formule], soit [formule]. Nature de la partie linéaire. [formule] est orthogonale (ses colonnes sont unitaires et orthogonales) et [formule] : c'est une rotation vectorielle. En comparant à la forme générale [formule], on lit [formule] et [formule], donc [formule]. L'isométrie est donc directe. Pourquoi le point fixe existe et est unique. Le système [formule] s'écrit [formule], et [formule] Le système est donc de Cramer : une solution, et une seule. Plus généralement, pour une rotation d'angle [formule], [formule], qui ne s'annule que pour [formule] — cas où [formule] serait une translation. Résolution et contrôle. [formule] et [formule]. En substituant la seconde dans la première : [formule], soit [formule] et [formule], puis [formule]. Contrôle : [formule]. ✓ Conclusion : [formule] est la rotation de centre [formule] et d'angle [formule]. ⚠️ Le centre n'est PAS lisible sur le vecteur de translation. On pourrait croire que [formule] indique un déplacement de l'origine vers [formule] : c'est faux, le centre est [formule]. La raison est que [formule] ne représente rien de géométrique tant qu'on n'a pas fixé d'origine — changer d'origine change [formule] mais pas la rotation. Seul le point fixe est intrinsèque, et il faut le calculer. 💡 À retenir. La marche est mécanique et vaut pour tout le chapitre : écrire [formule], lire [formule], puis résoudre [formule]. Si le système est de Cramer, il y a un point fixe unique — rotation en direct. S'il est incompatible, il n'y en a aucun — translation ou réflexion glissée. S'il est indéterminé, l'ensemble des points fixes est une droite — réflexion. Les trois cas du rang recouvrent exactement la classification.