Décomposer 65 et 145 en sommes de deux carrés.
Factoriser dans [formule].
Chercher les décompositions à la main revient à essayer tous les carrés, et l'on ne sait alors ni quand s'arrêter ni si l'on a tout trouvé. Passer par [formule] transforme la question en une factorisation, ce qui donne les décompositions et leur nombre exact — c'est tout l'intérêt du détour. Rappel — la norme et ce qu'elle traduit. Pour [formule], [formule]. Elle est multiplicative : [formule]. Écrire [formule] comme somme de deux carrés revient donc exactement à trouver [formule] avec [formule], c'est-à-dire à factoriser [formule] dans [formule]. Le théorème de Fermat, qui dit quels premiers se décomposent. Un premier impair [formule] est somme de deux carrés si et seulement si [formule] — auquel cas il se factorise dans [formule], et la décomposition est unique. Contrôles : [formule], [formule], [formule], [formule], tous [formule] ; tandis que [formule], [formule] et [formule], congrus à [formule], n'en ont aucune. Ces derniers restent irréductibles dans [formule]. Décomposition de [formule]. [formule]. Pour obtenir [formule] avec [formule], on prend un facteur de chaque paire conjuguée — deux choix indépendants, donc quatre produits, mais conjugués deux à deux : [formule] Contrôles : [formule] et [formule]. ✓ Décomposition de [formule]. [formule], avec [formule] : [formule] Contrôles : [formule] et [formule]. ✓ Le décompte, qui est ce que la méthode apporte de plus. Le nombre de décompositions essentiellement distinctes vaut [formule], où [formule] est le nombre de premiers distincts congrus à [formule] modulo [formule] dans la factorisation — chaque paire conjuguée offrant un choix binaire, et la conjugaison globale identifiant les résultats deux à deux. Ici [formule] dans les deux cas, d'où exactement deux décompositions : on sait donc qu'on n'en a oublié aucune, ce qu'une recherche par essais ne garantit jamais. ⚠️ Le critère général n'est pas « tous les facteurs premiers valent [formule] modulo [formule] ». Un entier [formule] est somme de deux carrés si et seulement si tout premier [formule] apparaît à un exposant PAIR dans sa factorisation. Ainsi [formule] et [formule] conviennent, bien que [formule] y figure : c'est l'exposant qui compte, pas la congruence seule. En revanche [formule] n'est pas somme de deux carrés, ses deux facteurs interdits étant à l'exposant [formule]. La raison est que [formule] est la norme de l'entier de Gauss [formule], resté irréductible — un premier inerte ne contribue que par son carré. 💡 À retenir. La leçon dépasse les sommes de deux carrés : changer d'anneau transforme une question de représentation en une question de factorisation. Le même mécanisme donne les sommes [formule] dans [formule] et [formule] dans les entiers d'Eisenstein. Et il ne marche si bien que parce que [formule] est euclidien, donc factoriel — sur [formule], qui ne l'est pas, le raisonnement s'effondre.