Calculer [formule] et [formule].
Reconnaissez une dérivée en [formule], puis exploitez l'antisymétrie pour [formule]. Enfin : pourquoi Fubini n'est-il pas contredit ?
Cet exercice n'est pas un calcul, c'est un contre-exemple. Il montre que les deux intégrales itérées d'une même fonction peuvent exister, être finies, et différer — ce qui ne contredit pas Fubini, mais délimite précisément son domaine de validité. Rappel — Fubini et son hypothèse. Le théorème de Fubini affirme l'égalité des deux intégrales itérées sous réserve que [formule]. Cette hypothèse d'intégrabilité absolue n'est pas une formalité : l'exercice va montrer ce qu'il advient quand elle tombe. Calcul de [formule] (d'abord en [formule]). Le point de départ est de reconnaître une dérivée : [formule]. C'est exactement l'intégrande. Donc [formule], puis [formule]. Calcul de [formule] (d'abord en [formule]), sans refaire le calcul. La fonction est antisymétrique : échanger [formule] et [formule] change [formule] en [formule], le dénominateur étant symétrique. Or [formule] s'obtient de [formule] par cet échange, donc [formule]. Les deux valeurs sont vérifiées numériquement. [formule], et pourquoi ce n'est pas une contradiction. Fubini n'est pas mis en défaut : son hypothèse n'est pas satisfaite. En effet [formule] — il suffit de regarder près de l'origine, le long de [formule], où l'intégrande vaut [formule], non intégrable en [formule]. La singularité au coin [formule] est trop forte. ⚠️ L'erreur classique. Conclure « Fubini est faux » ou « les intégrales itérées sont toujours égales ». Ni l'un ni l'autre. Ce que l'exemple établit est plus fin : l'existence des deux intégrales itérées ne suffit pas ; c'est l'intégrabilité de [formule] qui les force à coïncider. Et le réflexe pratique en découle : avant d'échanger deux intégrales sur une fonction de signe variable, on vérifie [formule] — par Tonelli, qui lui s'applique toujours à [formule]. 💡 À retenir. L'ordre d'intégration se permute librement pour une fonction positive (Tonelli) et sous condition sinon (Fubini). La méthode standard est donc en deux temps : appliquer Tonelli à [formule] pour établir la finitude, puis Fubini à [formule] pour permuter. C'est exactement ce que fait la démonstration de l'intégrale de Gauss — et exactement ce qui échoue ici.