Montrer que [formule] définit une norme sur [formule].
Vérifier les 3 axiomes de norme.
Vérifier les trois axiomes un par un est possible, mais c'est refaire un travail déjà fait : la norme de Frobenius est la norme euclidienne de [formule], à un réétiquetage des coordonnées près. L'exercice devient alors intéressant par ce qui n'est pas automatique — les propriétés que cette norme possède en tant que norme de matrices, et celle qu'elle ne possède pas. Identification de la formule. [formule] Donc [formule] : c'est la norme euclidienne du vecteur obtenu en mettant bout à bout les coefficients de [formule]. Contrôle sur [formule] : [formule]. ✓ Les trois axiomes, hérités. L'application [formule] qui à [formule] associe la liste de ses coefficients est un isomorphisme d'espaces vectoriels, et [formule] est l'image réciproque de la norme euclidienne. Les trois axiomes se transportent donc sans calcul : séparation ([formule] force tous les [formule] nuls, le caractère défini de la somme de carrés), homogénéité, et inégalité triangulaire — cette dernière étant celle de [formule], elle-même conséquence de Cauchy-Schwarz. La propriété qui n'est PAS gratuite : la sous-multiplicativité. [formule] Elle ne découle d'aucun axiome de norme, et beaucoup de normes sur [formule] ne la vérifient pas. Démonstration, par Cauchy-Schwarz sur chaque coefficient : [formule], donc [formule] et en sommant sur [formule] et [formule] les deux facteurs se séparent : [formule]. Contrôle sur [formule] ci-dessus et [formule] : [formule]. ✓ C'est cette propriété qui rend la norme utilisable pour majorer des produits, donc pour l'analyse numérique matricielle. ⚠️ Ce n'est PAS une norme subordonnée, et le contrôle tient en une ligne. Toute norme subordonnée à une norme vectorielle vérifie [formule], par définition du sup sur la sphère unité. Or [formule] soit [formule] en dimension [formule] et [formule] en dimension [formule]. La norme de Frobenius n'est donc subordonnée à aucune norme vectorielle, bien qu'elle soit sous-multiplicative — les deux notions ne coïncident pas, et [formule] est le test qui les sépare. Deux propriétés supplémentaires, qui expliquent son omniprésence. Elle est invariante par les isométries : [formule] pour [formule] orthogonales, puisque [formule] par invariance cyclique de la trace. Il en résulte, via la décomposition en valeurs singulières, [formule] Contrôle sur la même [formule] : les valeurs propres de [formule] sont [formule] et [formule], de somme [formule]. ✓ C'est cette formule qui fait de Frobenius l'outil naturel des problèmes d'approximation de rang faible. 💡 À retenir. Trois notions à ne pas confondre sur [formule] : norme (les trois axiomes), norme d'algèbre (sous-multiplicative en plus), et norme subordonnée (définie comme un sup, donc [formule]). Frobenius est une norme d'algèbre non subordonnée. Retenir aussi que [formule] est un vrai produit scalaire sur [formule], dont Frobenius est la norme associée — et pour lequel symétriques et antisymétriques sont supplémentaires orthogonaux.