Calculer [formule] via Fourier de [formule] sur [formule].
Calculer les coefficients de Fourier de [formule].
Calculer une somme numérique par Fourier, c'est choisir une fonction dont les coefficients font apparaître le terme général voulu, puis évaluer la série en un point bien choisi. Ici [formule] apparaît dans les coefficients de [formule], et c'est [formule] qui fait disparaître les signes. Rappel — Convention employée ici. On écrit [formule] avec [formule] — donc [formule] est le terme constant, sans facteur [formule] dans la série. ⚠️ L'autre convention courante pose [formule] et écrit [formule] dans la série : les deux se valent, mais les mélanger fait perdre un facteur [formule] sur le terme constant. Les coefficients. [formule] est paire, donc tous les [formule] sont nuls. Et [formule]. Pour [formule], la parité permet d'intégrer sur [formule] en doublant : [formule]. Deux intégrations par parties donnent [formule], d'où [formule]. Évaluation en [formule]. Prolongée par [formule]-périodicité, [formule] est continue — car [formule] — et [formule] par morceaux. Le théorème de Dirichlet s'applique donc en tout point, et en particulier en [formule] où [formule] : [formule]. Les deux facteurs [formule] se sont annulés : c'est précisément pour cela qu'on évalue en [formule]. Il reste [formule], soit [formule]. ⚠️ L'erreur classique. Invoquer Parseval. Ce n'est pas le bon théorème : Parseval porte sur les carrés des coefficients et donnerait ici [formule] — un autre résultat, tout aussi vrai et sans rapport avec la question. Ce qui sert ici est la convergence ponctuelle, donc Dirichlet. Second point à ne pas escamoter : la continuité du prolongement, sans laquelle Dirichlet donnerait la demi-somme des limites latérales. 💡 À retenir. Le procédé complet, transférable : choisir [formule] pour que le terme général voulu apparaisse dans ses coefficients, puis choisir le point d'évaluation pour que les signes se simplifient. Évaluer [formule] en [formule] au lieu de [formule] donnerait [formule] — une autre somme, obtenue de la même fonction. Le point d'évaluation est un paramètre du problème, pas un détail.