Établir [formule] avec [formule].
Récurrence sur [formule], et tout se joue sur la primitive de [formule] en [formule] : attention au signe.
L'énoncé demande d'établir la formule, pas de l'appliquer. Une intégration par parties isolée ne suffit pas : il faut une récurrence sur [formule], où chaque IPP fait passer du reste d'ordre [formule] à celui d'ordre [formule] en dégageant au passage le terme [formule]. Rappel — Hypothèse et théorème fondamental. On suppose [formule] de classe [formule] sur [formule]. La base de tout est le théorème fondamental de l'analyse : [formule]. Initialisation ([formule]). La formule à établir s'écrit [formule], c'est-à-dire exactement le théorème fondamental. Elle est donc vraie. Hérédité. Supposons la formule vraie au rang [formule] : [formule]. On intègre par parties ce reste, en posant [formule] et [formule]. Le choix de la primitive est le point délicat. Une primitive de [formule] en [formule] est [formule] : le signe moins vient de la dérivation de [formule], et c'est lui qu'on oublie. D'où [formule]. Le crochet se simplifie : en [formule] le facteur [formule] s'annule, et en [formule] le signe moins devant s'annule avec celui de la borne inférieure. Il reste [formule] — c'est-à-dire exactement le terme de rang [formule] de la somme de Taylor. En reportant, on obtient la formule au rang [formule]. La récurrence est établie, et le reste intégral vaut bien [formule]. ⚠️ L'erreur classique. Écrire « on itère [formule] fois » et s'arrêter là. Ce n'est pas une preuve : c'est précisément le mécanisme de l'itération qu'il faut exhiber, et il tient tout entier dans le choix de [formule]. Prendre [formule] (sans le signe moins, avec [formule]) donne des signes alternés faux une fois sur deux, et le résultat semble marcher pour [formule] pair. 💡 À retenir. Le reste intégral est plus fort que celui de Taylor-Lagrange : il est explicite et ne fait intervenir aucun point intermédiaire inconnu. On en déduit Lagrange en majorant [formule] par son sup, et l'inégalité de Taylor-Lagrange en intégrant cette majoration.