On admet la formule de Taylor avec reste intégral pour [formule]. En déduire la formule de Taylor-Lagrange puis l'inégalité de Taylor-Lagrange, et comparer ce que chacune des trois formes apporte.
Pour l'inégalité, majorez sous l'intégrale. Pour Lagrange, remarquez que [formule] garde un signe constant.
La formule de Taylor avec reste intégral étant acquise, tout l'intérêt est d'en déduire les autres. Les trois formes — reste intégral, Taylor-Lagrange, inégalité de Taylor-Lagrange — ne sont pas trois théorèmes indépendants : ce sont trois lectures du même reste, de la plus précise à la plus maniable. Rappel — Le point de départ. Pour [formule] : [formule], avec le reste explicite [formule] (établi par récurrence sur [formule] dans l'exercice consacré). Première conséquence : l'inégalité de Taylor-Lagrange. Posons [formule], fini car [formule] est continue sur un compact. En majorant sous l'intégrale : [formule]. Deuxième conséquence : Taylor-Lagrange. La fonction [formule] est positive sur [formule] : la formule de la moyenne s'applique, et fournit [formule] tel que [formule]. C'est la forme de Lagrange. Ce que chaque forme coûte et rapporte. Le reste intégral est le plus fort : explicite, sans point inconnu, et il ne demande que [formule]. Lagrange est plus court à écrire mais fait apparaître un [formule] dont on ne sait rien — inutilisable pour un calcul numérique. L'inégalité perd l'égalité mais ne garde qu'une quantité calculable, [formule] : c'est elle qui sert en pratique. Illustration. Pour [formule] sur [formule] et [formule] : [formule], tandis que [formule]. L'erreur vaut [formule], et l'inégalité de Taylor-Lagrange prédit [formule] : la borne est respectée, et pessimiste d'un facteur [formule] seulement. ⚠️ L'erreur classique. Croire que le [formule] de Taylor-Lagrange est le même pour tout [formule], ou qu'il peut se calculer. Il dépend de [formule], de [formule], de [formule], et le théorème n'affirme que son existence. Second piège : appliquer Taylor-Lagrange à une fonction à valeurs complexes ou vectorielles — la formule de la moyenne y est fausse, et seuls le reste intégral et l'inégalité survivent. 💡 À retenir. Une hiérarchie à connaître : reste intégral [formule] Taylor-Lagrange [formule] inégalité de Taylor-Lagrange, chaque flèche perdant de l'information contre de la maniabilité. En cas de doute sur les hypothèses, revenir au reste intégral : c'est celui qui en demande le moins et qui donne le plus.