Montrer que n! ~ [formule] quand [formule].
Deux temps distincts : montrer que [formule] converge (télescopage), puis identifier sa limite (Wallis). L'un ne donne pas l'autre.
La démonstration se fait en deux temps qu'il ne faut pas mélanger. On montre d'abord que [formule] converge vers une limite [formule] — sans savoir laquelle. On identifie ensuite [formule] par la formule de Wallis. Aucune des deux étapes ne donne l'autre. Rappel — Ce qu'on utilise. Le développement [formule] pour [formule] ; et les intégrales de Wallis [formule], dont on sait que [formule]. Étape 1 : convergence. Posons [formule]. Un calcul direct donne [formule]. Avec [formule], on a [formule] et [formule], donc [formule]. Ce terme est positif et [formule] : la série [formule] converge, donc [formule] converge, donc [formule]. Étape 2 : identification par Wallis. En exprimant les intégrales avec des factorielles, [formule]. En y remplaçant [formule] et [formule], les puissances [formule] se simplifient et il reste [formule]. Or ce quotient tend vers [formule]. Donc [formule], et comme [formule] : [formule], c'est-à-dire [formule]. Qualité de l'approximation. L'erreur relative vaut [formule] : [formule] à [formule], [formule] à [formule], [formule] à [formule]. Stirling est donc utilisable très tôt — c'est ce qui en fait un outil de calcul et pas seulement un équivalent théorique. ⚠️ L'erreur classique. Croire que [formule] suffit. Cette comparaison série-intégrale donne bien le terme dominant, mais elle est incapable de produire la constante [formule] : elle ne contrôle l'erreur qu'à [formule] près, alors que la constante se joue au terme suivant. C'est précisément pour cela que l'étape 2 existe, et pourquoi elle a besoin d'un ingrédient extérieur — Wallis, ou l'intégrale de Gauss. 💡 À retenir. Le schéma « montrer d'abord que ça converge, identifier la limite ensuite par un autre chemin » est fréquent quand la constante n'est pas accessible au procédé qui donne la convergence. Et l'apparition de [formule] n'est pas fortuite : c'est la même constante que l'intégrale de Gauss, via la méthode de Laplace appliquée à [formule].