Calculer [formule] à l'aide des résidus.
Quelle fonction a pour pôles exactement les entiers, avec résidu [formule] ? Et quelle hypothèse rend nulle la contribution du grand contour ?
Les résidus ne servent pas qu'aux intégrales : ils calculent aussi des sommes. L'idée est de fabriquer une fonction dont les résidus aux entiers valent exactement les termes à sommer — et [formule] est faite pour cela, ses pôles étant précisément [formule], tous simples et de résidu [formule]. Rappel — Formule de sommation. Si [formule] est méromorphe, sans pôle entier, et décroît au moins comme [formule] à l'infini, alors [formule]. Le signe moins vient de ce que la somme des résidus sur un grand carré est nulle à la limite : les résidus aux entiers (qui donnent la somme) compensent ceux aux pôles de [formule]. Pourquoi [formule]. Ses pôles sont les entiers, tous simples, et [formule]. Donc [formule] : c'est elle qui transforme des résidus en termes de la somme. Application. Ici [formule], de pôles simples [formule], et [formule] décroît en [formule] : les hypothèses sont réunies. En [formule], le pôle de [formule] étant simple, [formule]. Le calcul du cotangente imaginaire. [formule] et [formule], donc [formule]. D'où [formule]. Le résidu en [formule] vaut la même chose, par parité de [formule] combinée à celle du dénominateur. Somme sur [formule], puis sur [formule]. La formule donne [formule]. Le terme [formule] vaut [formule], et la somme est paire en [formule] : [formule] — vérifié numériquement. ⚠️ L'erreur classique. Oublier de vérifier la décroissance de [formule], qui est l'hypothèse rendant nulle la contribution du grand carré. Sans elle la formule est fausse : pour [formule], elle donnerait une valeur à [formule], qui diverge. Second piège : additionner les résidus aux entiers et ceux de [formule] en oubliant le signe moins — la formule dit que leur somme totale est nulle, pas qu'elles s'additionnent. 💡 À retenir. Le même procédé avec [formule] au lieu de [formule] donne les sommes alternées [formule], ses résidus aux entiers valant [formule]. Et appliqué à [formule], il redonne [formule] — le pôle double en [formule] demandant alors un développement limité du cotangente.