Maladie rare (1%). Test sensibilité 99%, spécificité 95%. Si test positif, quelle probabilité d'être réellement malade ?
Bayes : [formule].
C'est exactement le même test que l'exercice voisin — sensibilité [formule], spécificité [formule] — appliqué à une maladie dix fois plus fréquente. Rien n'a changé du côté du test ; seule la prévalence passe de [formule] à [formule]. L'intérêt est de voir de combien la conclusion bouge, et surtout de dégager la quantité qui, elle, ne bouge pas. Le calcul direct. Avec [formule] : [formule] puis [formule] Environ [formule], contre [formule] à prévalence dix fois moindre : multiplier la prévalence par dix multiplie ici la valeur prédictive par près de neuf. La forme en COTES, qui explique le [formule] exact. Posons la cote a priori [formule] et le rapport de vraisemblance [formule] Bayes se réécrit alors en une multiplication : [formule] Ici [formule] — les [formule] se simplifient, d'où une cote de [formule] contre [formule], c'est-à-dire [formule] exactement. Ce que cette forme rend visible. Le rapport de vraisemblance [formule] ne dépend que du test, jamais de la population : c'est la vraie mesure de ce qu'un test apporte. La prévalence n'intervient que par la cote a priori. Contrôle sur l'autre exercice : [formule], donc [formule] — on retrouve bien les [formule]. Deux questions que la forme en cotes rend immédiates. À partir de quelle prévalence un test positif signifie-t-il « plus probable que non » ? Il faut une cote a posteriori [formule], donc une cote a priori [formule], soit [formule]. Et pour atteindre [formule] à prévalence [formule], il faudrait [formule], donc une spécificité de [formule] au lieu de [formule] : c'est la spécificité, pas la sensibilité, qu'il faut améliorer pour dépister une maladie rare. ⚠️ Sensibilité et spécificité ne jouent pas le même rôle, et ce n'est pas symétrique. La sensibilité multiplie un terme déjà minuscule ([formule]), la spécificité un terme énorme ([formule]). Faire passer la sensibilité de [formule] à [formule] ferait passer la réponse de [formule] à [formule] ; faire passer la spécificité de [formule] à [formule] la ferait passer à [formule]. Sur une maladie rare, c'est toujours la spécificité qui gouverne. 💡 À retenir. La forme multiplicative [formule] est la façon utile de retenir Bayes : elle sépare proprement ce qui vient du test (le rapport de vraisemblance) de ce qui vient de la population (la cote a priori), et elle s'enchaîne trivialement pour plusieurs tests indépendants — deux tests positifs multiplient la cote par [formule].