Test maladie : sensibilité 99%, spécificité 95%, prévalence 0.1%. Si test positif, quelle est la probabilité d'être malade ?
[formule].
Presque tout le monde, y compris des médecins interrogés en situation, répond « environ [formule] » à cette question — en confondant [formule], qui est donné, avec [formule], qui est demandé. Ces deux quantités n'ont aucune raison d'être proches, et l'exercice consiste précisément à mesurer l'écart. Rappel — les trois nombres de l'énoncé. La sensibilité est [formule] : le test détecte [formule] des malades. La spécificité est [formule], donc le taux de faux positifs vaut [formule]. La prévalence est [formule]. Ces trois nombres sont des probabilités conditionnées par l'état de santé ; la question porte sur le conditionnement inverse. Le dénominateur, par les probabilités totales. Les événements [formule] et [formule] partitionnent l'univers, donc [formule] Soit [formule] Les deux termes valent déjà tout : [formule] de vrais positifs contre [formule] de faux positifs, cinquante fois plus. La formule de Bayes. [formule] soit environ [formule]. Autrement dit, [formule] des tests positifs sont des faux positifs. Le comptage sur une population, qui rend le résultat évident. Sur [formule] personnes : [formule] sont malades, dont [formule] testent positif ; [formule] sont saines, dont [formule] — soit [formule] — testent positif à tort. Au total [formule] positifs, dont [formule] malades : [formule]. Aucune formule n'est nécessaire, et c'est cette présentation qu'il faut avoir en tête pour ne jamais se tromper de sens. ⚠️ L'origine de l'erreur est un oubli, pas un calcul. On néglige la fréquence de base : [formule] de malades, c'est si peu que même un excellent test produit surtout des faux positifs, faute d'un réservoir de vrais malades assez grand. Les [formule] de faux positifs s'appliquent à [formule] de la population, les [formule] de sensibilité seulement à [formule]. C'est le rapport des effectifs, pas la qualité du test, qui décide. 💡 À retenir. Un test positif ne donne jamais une probabilité de maladie sans la prévalence — c'est pour cette raison qu'on ne dépiste pas une maladie rare en population générale, mais dans un groupe à risque où la prévalence est plus élevée. L'exercice voisin reprend exactement ce test avec une prévalence dix fois supérieure : la réponse passe de [formule] à [formule], sans qu'aucune caractéristique du test n'ait changé.