Déterminer la signature de [formule].
Compléter le carré ou diagonaliser la matrice associée.
Deux méthodes donnent la signature, et il faut savoir laquelle répond à quoi. La réduction de Gauss produit une base de réduction en plus de la signature ; le critère de Sylvester ne donne qu'un verdict, mais en quelques déterminants. On fait les deux, elles se contrôlent l'une l'autre. La matrice de [formule]. Elle est symétrique, avec les coefficients des carrés sur la diagonale et la moitié des coefficients croisés hors diagonale : [formule] Oublier la division par deux est l'erreur la plus fréquente, et elle fausse tous les déterminants. Réduction de Gauss — compléter les carrés dans l'ordre. On élimine d'abord toutes les occurrences de [formule] : [formule] Puis toutes celles de [formule] : [formule], d'où [formule] Les trois formes linéaires [formule], [formule] et [formule] sont indépendantes — la matrice de passage est triangulaire à diagonale [formule] — donc c'est bien une réduction en carrés de formes indépendantes. Lecture de la signature. Trois carrés, tous à coefficient strictement positif : la signature est [formule], et [formule] est définie positive. Contrôles numériques : la forme réduite et l'expression initiale coïncident sur [formule], [formule], [formule], [formule] et [formule]. Contrôle indépendant par Sylvester. Une forme est définie positive si et seulement si ses mineurs principaux dominants sont tous strictement positifs : [formule] Conclusion identique, obtenue par un chemin qui ne partage aucun calcul avec le précédent. ⚠️ Sylvester ne donne PAS la signature dans le cas général. Le critère caractérise le définie positive, et par [formule] le définie négative (mineurs de signes alternés à partir de [formule]). Mais dès qu'un mineur s'annule, il ne conclut rien — et pour une forme dégénérée ou indéfinie, il ne fournit ni le rang ni la signature. Seule la réduction de Gauss les donne à coup sûr. Second piège : les mineurs doivent être principaux dominants, c'est-à-dire les coins supérieurs gauches ; d'autres mineurs principaux ne conviennent pas. La signature est un invariant, et c'est le théorème d'inertie. Deux réductions en carrés d'une même forme peuvent donner des formes linéaires très différentes, mais le nombre de coefficients positifs et négatifs ne dépend pas de la réduction : c'est la loi d'inertie de Sylvester. La signature [formule] classe donc complètement les formes quadratiques réelles à équivalence près, et le rang vaut [formule]. 💡 À retenir. Trois lectures de la signature. Par Gauss, en complétant les carrés variable par variable — méthode toujours valable, y compris sans terme carré, où l'on commence par [formule]. Par Sylvester, pour trancher rapidement le seul cas défini. Et par les valeurs propres de [formule], dont les signes donnent directement [formule] — la matrice étant symétrique réelle, donc diagonalisable en base orthonormée.