Trouver la forme de Jordan de [formule].
Trouver les valeurs propres et les espaces caractéristiques.
La matrice est triangulaire, donc les valeurs propres se lisent. Toute la question est la structure des blocs pour la valeur propre double, et elle se tranche par une seule dimension — celle du sous-espace propre. Le point à comprendre est pourquoi cette dimension suffit ici, et pourquoi elle ne suffirait pas toujours. Les valeurs propres. [formule] est triangulaire supérieure, donc [formule] : la valeur propre [formule] est de multiplicité algébrique [formule], et [formule] est simple. Le sous-espace propre pour [formule]. [formule] Le système [formule], [formule], [formule] donne [formule], de dimension [formule]. La multiplicité géométrique vaut donc [formule], strictement inférieure à la multiplicité algébrique [formule] : [formule] n'est pas diagonalisable. Structure des blocs. Le nombre de blocs associés à [formule] est exactement [formule], et la somme de leurs tailles est la multiplicité algébrique. Pour [formule] : un seul bloc, de taille [formule], donc [formule]. Pour [formule], simple : un bloc [formule]. D'où [formule] Contrôles. La trace est un invariant de similitude : [formule]. ✓ Le déterminant aussi : [formule]. ✓ Et [formule] est bien non diagonalisable, ce que [formule] traduit. ⚠️ Une seule dimension ne suffit pas en général. Ici la multiplicité algébrique vaut [formule], donc « un seul bloc » force sa taille. Mais pour une multiplicité [formule] avec [formule], il y a deux possibilités — deux blocs de taille [formule], ou un de taille [formule] et un de taille [formule] — et il faut calculer [formule] pour trancher. La règle générale est celle de l'exercice voisin sur les nilpotentes, appliquée à [formule] restreinte au sous-espace caractéristique. Le polynôme minimal, lecture équivalente. [formule] : l'exposant de [formule] y est la taille du plus grand bloc associé à [formule]. C'est la reformulation du critère de diagonalisabilité — [formule] est diagonalisable si et seulement si [formule] est scindé à racines simples, c'est-à-dire si et seulement si tous les blocs sont de taille [formule]. 💡 À retenir. Trois nombres, trois lectures : la multiplicité algébrique donne la somme des tailles de blocs, la multiplicité géométrique leur nombre, et l'exposant dans le polynôme minimal la taille du plus grand. Quand ces trois données ne suffisent pas, on descend dans la suite des rangs de [formule], qui détermine tout.