Fonction test $C^\infty$ à support compact

Énoncé

Montrer que [formule] est [formule] sur [formule].

Indication

Montrer que [formule] quand [formule].

Solution

Pour [formule] : [formule], trivialement [formule]. Pour [formule] : [formule] est [formule] (composée). Points critiques : [formule]. Montrons [formule] pour tout [formule]. Changement [formule] : [formule] quand [formule]. Lemme : [formule] pour tout [formule] (la décroissance exponentielle bat le polynôme). Par récurrence, toutes les dérivées tendent vers [formule] en [formule]. Donc [formule]. [formule]