Montrer que [formule] est [formule] sur [formule].
Un seul lemme suffit : [formule]. Et une question à se poser à la fin : que vaut la série de Taylor de [formule] en [formule] ?
Tout se joue aux points [formule], où la fonction se raccorde à zéro. Ailleurs elle est [formule] pour des raisons évidentes. La difficulté est de montrer que toutes les dérivées se raccordent, et le mécanisme est toujours le même : une exponentielle qui s'écrase bat n'importe quelle fraction rationnelle qui explose. Rappel — Le lemme de croissance comparée. Pour tout [formule], [formule]. On le voit en posant [formule] : la limite devient [formule]. C'est le seul ingrédient analytique de tout l'exercice, et il servira à chaque ordre de dérivation. Hors des points critiques. Pour [formule], [formule] est [formule]. Pour [formule], [formule] est la composée de [formule] (rationnelle sans pôle sur [formule]) et de [formule], donc [formule]. La forme des dérivées. Une récurrence montre que, sur [formule], [formule] pour un polynôme [formule] — chaque dérivation ne fait qu'augmenter le degré du numérateur et l'exposant du dénominateur, sans jamais faire disparaître l'exponentielle. Le raccord en [formule]. Posons [formule] quand [formule]. La dérivée s'écrit alors [formule], et le lemme donne une limite nulle — le facteur [formule] restant borné au voisinage de [formule]. Toutes les dérivées à gauche tendent donc vers [formule], comme les dérivées à droite qui sont identiquement nulles. Par le théorème de prolongement [formule] (appliqué de proche en proche à chaque ordre), [formule] est dérivable en [formule] avec [formule] pour tout [formule]. Idem en [formule] par parité. Donc [formule], à support compact [formule]. ⚠️ Le point le plus important, et il n'est pas dans la question : [formule] n'est PAS analytique. Toutes ses dérivées s'annulent en [formule], donc sa série de Taylor y est identiquement nulle — alors que [formule] à gauche de [formule]. La série de Taylor converge parfaitement, vers une fonction qui n'est pas [formule]. C'est le contre-exemple fondamental montrant que [formule] est strictement plus vaste qu'analytique. 💡 À retenir. Cette fonction est le point de départ de toute la théorie des distributions : c'est parce qu'il existe des fonctions [formule] à support compact — impossible pour une fonction analytique non nulle, qui serait nulle partout par prolongement — qu'on peut définir les [formule], les partitions de l'unité, et la régularisation par convolution.