Calculer [formule] par la méthode des résidus.
Trois choses à établir : où sont les pôles, lesquels sont dans le demi-plan supérieur, et pourquoi l'arc ne contribue pas.
Une intégrale sur [formule] se calcule par les résidus en la voyant comme un morceau de contour fermé. On referme par un demi-cercle dans le demi-plan supérieur, on montre que sa contribution s'évanouit, et il ne reste que les pôles enfermés. Trois choses à établir, toujours les mêmes : où sont les pôles, lesquels sont enfermés, et pourquoi l'arc disparaît. Rappel — Théorème des résidus. Si [formule] est méromorphe sur un ouvert contenant un contour fermé simple [formule] orienté positivement et son intérieur, sans pôle sur [formule], alors [formule], la somme portant sur les pôles intérieurs à [formule]. Et pour un pôle simple de [formule], [formule]. Les pôles. [formule] s'écrit [formule], donc [formule] pour [formule] : quatre pôles simples, aux quatre points [formule], [formule], [formule], [formule], régulièrement répartis sur le cercle unité. Aucun n'est réel : le contour ne rencontre aucun pôle, condition nécessaire pour appliquer le théorème. Ceux qui sont enfermés. Le demi-cercle supérieur ne contient que ceux de partie imaginaire [formule] : [formule] et [formule]. Les résidus. Avec [formule], on a [formule], donc [formule]. Il vient [formule] et, puisque [formule], [formule]. Leur somme vaut [formule] : les parties réelles s'annulent, il reste [formule]. L'arc s'évanouit — l'étape qu'on oublie. Sur le demi-cercle de rayon [formule], [formule], donc l'intégrale est majorée par [formule]. C'est ici que sert le degré : le dénominateur dépasse le numérateur de [formule] unités, condition générale pour qu'un demi-cercle ne contribue pas. Conclusion. [formule] — vérifié numériquement. ⚠️ L'erreur classique. Sommer tous les résidus au lieu des seuls pôles enfermés : on obtiendrait [formule], la somme des quatre étant nulle par symétrie. Second oubli, plus grave car silencieux : ne pas justifier que l'arc tend vers [formule]. Sur [formule], l'écart de degré n'est que de [formule], l'arc ne s'évanouit pas — et l'intégrale diverge de toute façon. 💡 À retenir. Le crible pour une fraction rationnelle [formule] sans pôle réel : l'intégrale sur [formule] converge et se calcule par résidus dès que [formule]. Pour un facteur oscillant [formule] avec [formule], l'écart de [formule] suffit — c'est le lemme de Jordan, qui exploite la décroissance de [formule] dans le demi-plan supérieur.