X suit une loi de Poisson[formule]. Calculer [formule].
Utiliser [formule].
La fonction génératrice [formule] n'a de sens que pour [formule] à valeurs entières positives : elle range toute la loi dans les coefficients d'une série entière. Son intérêt tient en une phrase — une opération compliquée sur les lois, la convolution, y devient une opération simple sur les fonctions, le produit ; et les moments s'en lisent par dérivation en [formule]. Rappel — définition et convergence. [formule] Les coefficients étant des probabilités de somme [formule], la série converge au moins pour [formule], et [formule] toujours. C'est le premier contrôle à faire sur tout résultat. Le calcul. [formule] signifie [formule]. Par transfert : [formule] La somme restante est le développement de l'exponentielle en [formule], valable pour tout réel, d'où [formule] Contrôle immédiat : [formule]. Et le rayon de convergence est ici infini, ce qui n'a rien d'automatique : pour une loi géométrique de paramètre [formule] sur [formule], [formule] n'est définie que pour [formule]. Les moments se lisent par dérivation en [formule]. [formule], donc [formule]. Puis [formule], donc [formule], d'où [formule] et [formule] On retrouve le fait caractéristique de la loi de Poisson : espérance et variance sont égales. Ce que la forme [formule] donne gratuitement. Si [formule] et [formule] sont indépendantes, [formule] qui est la génératrice de [formule]. La famille de Poisson est donc stable par somme indépendante, et la démonstration tient en une ligne au lieu du produit de convolution [formule]. ⚠️ [formule] n'est pas [formule] mais [formule], le moment factoriel. Oublier de rajouter [formule] donne [formule], ce qui devrait alerter immédiatement : une variance nulle signifierait que [formule] est constante. 💡 À retenir. Trois usages pour un seul objet : [formule] contrôle le calcul, [formule] donne les moments factoriels, [formule] transforme les sommes indépendantes en produits. C'est le théorème d'unicité — deux lois de même génératrice sont égales — qui rend la troisième propriété concluante.