Calculer [formule].
Montrer que [formule] puis utiliser la multiplicativité des degrés.
La multiplicativité des degrés donne [formule] immédiatement, à condition d'établir le maillon non trivial : [formule]. C'est là que se joue l'exercice, et l'argument repose sur un fait qu'il faut énoncer — [formule] est une base de [formule] sur [formule]. Rappel — la tour des degrés. Pour [formule] avec les degrés finis, [formule] La démonstration est un produit de bases : si [formule] est une base de [formule] sur [formule] et [formule] une base de [formule] sur [formule], alors [formule] est une base de [formule] sur [formule]. Premier étage. [formule] est irréductible sur [formule] — il est de degré [formule] sans racine rationnelle, [formule] étant irrationnel — donc c'est le polynôme minimal de [formule] et [formule], de base [formule]. Le maillon décisif : [formule]. Supposons [formule] avec [formule]. En élevant au carré : [formule] Or [formule] est une base : l'écriture d'un élément dans cette base est unique, et [formule]. En identifiant les coordonnées, [formule], donc [formule] ou [formule]. Si [formule], alors [formule] — faux. Si [formule], alors [formule], donc [formule] et [formule] — faux également. Contradiction. Conclusion. [formule] n'a donc pas de racine dans [formule] : il y est irréductible, et [formule]. Par la tour, [formule] de base [formule]. L'extension est engendrée par UN élément. Posons [formule]. Alors [formule], donc [formule] : son polynôme minimal est [formule], de degré [formule]. Et l'on récupère les générateurs : [formule] vérifié numériquement à [formule] près. Donc [formule] — illustration du théorème de l'élément primitif, valable pour toute extension finie séparable. ⚠️ Le degré n'est pas toujours le produit des degrés des générateurs. [formule] et non [formule], puisque [formule] appartient déjà à [formule]. La multiplicativité de la tour est toujours vraie ; ce qui demande une démonstration, c'est que le second étage soit encore de degré [formule] — c'est-à-dire exactement le maillon établi plus haut. On ne peut jamais l'admettre. 💡 À retenir. La structure de Galois se lit sur ce degré : [formule], les quatre automorphismes envoyant indépendamment [formule] et [formule]. La correspondance de Galois associe aux trois sous-groupes d'indice [formule] les trois corps intermédiaires [formule], [formule] et [formule] — ce dernier étant celui qu'on oublie.