Calculer [formule] pour [formule].
Remarquer que [formule].
Le calcul repose sur une observation qui rend la série sommable : [formule]. Toute la mécanique consiste alors à séparer les termes pairs et impairs, ce qui reconstitue [formule] et [formule]. Il faut savoir pourquoi ce regroupement est licite, et surtout connaître le piège de l'exponentielle matricielle, qui n'est pas celui du calcul. Les puissances de [formule]. [formule] d'où [formule] et [formule] : les puissances sont [formule]-périodiques. Les puissances paires sont [formule], les impaires [formule] — c'est exactement la structure des puissances de [formule], ce qui n'est pas un hasard : [formule] engendre une copie de [formule] dans [formule]. Le regroupement, et sa justification. La série [formule] converge absolument pour toute norme d'algèbre — [formule], terme général d'une série exponentielle convergente. On peut donc réordonner et regrouper librement : [formule] Le résultat. [formule] la matrice de la rotation d'angle [formule]. Contrôles : en [formule] on retrouve [formule] ; le déterminant vaut [formule], conforme à la formule générale [formule] avec [formule] ; et la dérivée en [formule] vaut bien [formule]. Ce que la formule contient. Comme [formule] — licite ici, [formule] et [formule] commutant —, l'égalité matricielle correspondante est exactement [formule] c'est-à-dire les formules d'addition de [formule] et [formule]. Le groupe à un paramètre [formule] est le groupe des rotations, et [formule] en est le générateur infinitésimal. ⚠️⚠️ [formule] en général — c'est le piège central de l'exponentielle matricielle. L'égalité n'a lieu que si [formule]. Contre-exemple minimal : [formule] et [formule], qui ne commutent pas ([formule], [formule]). Alors [formule] Les deux ne coïncident sur aucun coefficient. C'est le défaut de commutation qui donne naissance à la formule de Baker-Campbell-Hausdorff et à toute la théorie des algèbres de Lie. 💡 À retenir. La méthode générale : chercher un polynôme annulateur de bas degré ([formule] ici), ou à défaut la décomposition de Dunford [formule], qui donne [formule] avec [formule] polynomiale puisque [formule] est nilpotente. Et retenir les trois propriétés sûres : [formule] est toujours inversible d'inverse [formule], [formule], et [formule] — cette dernière étant ce qui fait de [formule] la solution de [formule].