Soit X ~ Bin(n,p). Retrouver E[X] et Var(X) sans utiliser les formules.
Écrire [formule] ... + [formule] avec [formule] ~ Ber(p) i.i.d.
L'énoncé demande de retrouver [formule] et [formule] sans les formules toutes faites. La décomposition en somme de Bernoulli n'est pas seulement plus courte que le calcul direct avec les coefficients binomiaux : elle montre d'où viennent les deux résultats, et surtout quelle hypothèse sert à quoi — car ce n'est pas la même pour l'espérance et pour la variance. La décomposition. Numérotons les épreuves et posons [formule] si la [formule]-ième est un succès, [formule] sinon. Chaque [formule] suit une Bernoulli de paramètre [formule], les [formule] sont indépendantes, et [formule] C'est la définition même d'une binomiale : compter les succès de [formule] épreuves indépendantes identiques. L'espérance. [formule], puis par linéarité [formule] La variance, et l'astuce qui la rend immédiate. Comme [formule] ne prend que les valeurs [formule] et [formule], on a [formule] — donc [formule] sans le moindre calcul. D'où [formule] puis, les [formule] étant indépendantes, [formule] ⚠️ Les deux étapes n'utilisent PAS la même hypothèse, et c'est le cœur de l'exercice. La linéarité de l'espérance est vraie toujours, sans aucune hypothèse d'indépendance. L'additivité de la variance, elle, l'exige : en général [formule] et ce sont les covariances nulles qui font disparaître le second terme. Le contre-exemple qui le prouve. Prenons l'autre extrême : [formule], une seule pièce dont on recopie le résultat [formule] fois. Alors [formule], donc [formule] — inchangé, comme annoncé — mais [formule] soit [formule] fois la variance du cas indépendant. Avec [formule] et [formule] : [formule] contre [formule]. L'espérance ne voit pas la différence, la variance ne voit qu'elle. Contrôle. Le maximum de [formule] est atteint en [formule] et vaut [formule], donc [formule] : une pièce équilibrée est le cas le plus incertain, et une épreuve presque sûre ([formule] proche de [formule] ou de [formule]) a une variance presque nulle. C'est cohérent, et cette majoration [formule] est celle qui donne la règle des sondages en [formule]. 💡 À retenir. Décomposer en somme de variables simples est le réflexe central du calcul de moments : il transforme un calcul combinatoire en deux lignes. Et retenir l'asymétrie — linéarité toujours, additivité des variances seulement si les covariances sont nulles. L'identité [formule] pour une indicatrice resservira constamment.