Soit [formule] de densité [formule] sur le triangle [formule]. Calculer [formule].
Calculer la loi conditionnelle de [formule] sachant [formule].
L'exercice voisin traite une somme aléatoire, donc un conditionnement discret. Ici tout est continu, et l'événement [formule] est de probabilité nulle : la définition élémentaire [formule] ne s'applique pas. C'est la densité conditionnelle qui rend un sens à la question, et la marche à suivre est toujours la même — marginale, puis quotient. Contrôle préalable, à ne pas sauter. Le domaine [formule] est le triangle de sommets [formule], [formule] et [formule], d'aire [formule]. La masse totale vaut donc [formule] : la densité est bien normalisée, et la constante [formule] n'est pas arbitraire. Loi marginale de [formule]. On intègre en [formule] à [formule] fixé. La contrainte [formule] borne l'intégrale : [formule] Contrôle : [formule]. Densité conditionnelle. Pour [formule], [formule] Une densité constante sur [formule] : autrement dit [formule] suit la loi uniforme [formule]. Ce n'était pas évident au départ, et c'est ce qui rend la suite immédiate. L'espérance conditionnelle. L'espérance d'une [formule] vaut [formule], donc [formule] Bien noter la différence de nature : [formule] est un nombre dépendant du paramètre [formule], tandis que [formule] est une variable aléatoire, fonction de [formule]. Contrôle par la tour. [formule], donc [formule]. Vérification par la marginale de [formule], qui vaut [formule] : [formule] Les deux chemins concordent. Second contrôle, plus exigeant — la décomposition de la variance. [formule] (variance d'une uniforme de largeur [formule]), et [formule], donc [formule] Le calcul direct donne [formule], d'où [formule]. Identique. ⚠️ Le support conditionnel dépend de [formule], et c'est l'erreur classique. [formule] n'est valable que sur [formule], et vaut [formule] ailleurs — oublier cette restriction fait intégrer sur [formule] et donne [formule], qui diverge en [formule] et n'est même pas une espérance de variable bornée par [formule]. Sur un domaine non rectangulaire, écrire les bornes avant de calculer. 💡 À retenir. La marche est mécanique : densité jointe, puis marginale par intégration de l'autre variable, puis quotient. Reconnaître au passage une loi usuelle — ici l'uniforme — évite tout calcul d'intégrale. Et la décomposition [formule] fournit un contrôle indépendant qui ne coûte presque rien.