Soit [formule] Poisson[formule] et [formule] une suite iid de Bernoulli[formule], indépendante de [formule]. Calculer [formule].
Formule de l'espérance totale.
Il s'agit d'une somme aléatoire : le nombre de termes est lui-même une variable. On ne peut donc pas appliquer la linéarité directement — elle porte sur un nombre fixe de termes. Le conditionnement par [formule] remet le problème dans un cadre où le nombre de termes est connu, et le théorème de la tour recolle le tout. Rappel — formule de l'espérance totale. Pour toute variable intégrable [formule], [formule] La quantité [formule] est une variable aléatoire, fonction de [formule] : on calcule d'abord [formule] pour chaque [formule], ce qui donne une fonction [formule], puis on prend l'espérance de [formule]. Le calcul conditionnel. [formule] C'est ici que sert l'indépendance de [formule] et des [formule], et il faut le dire : sans elle, conditionner par [formule] modifierait la loi des [formule], et [formule] n'aurait aucune raison de valoir [formule]. Le nombre de termes étant fixé à [formule], la linéarité s'applique enfin. Recollement. [formule], donc [formule] Le résultat est celui qu'on espère — en moyenne [formule] termes valant [formule] en moyenne — mais l'écrire sans le conditionnement serait une multiplication non justifiée. Ce que l'énoncé ne demande pas et qui vaut mieux que le résultat : [formule] suit une loi de Poisson. Par la fonction génératrice, [formule] qui est la génératrice de [formule]. C'est le théorème d'amincissement : garder chaque point d'un Poisson avec probabilité [formule], indépendamment, redonne un Poisson de paramètre [formule]. Il redonne au passage [formule]. Contrôle par la variance. La décomposition [formule] donne [formule] Espérance et variance égales : cohérent avec une loi de Poisson, comme il se doit. Deux chemins indépendants, même réponse. ⚠️ [formule] n'est pas une règle générale. Elle vaut ici parce que [formule] est indépendant des [formule]. Si le nombre de termes dépend de leurs valeurs — par exemple [formule] = premier instant où la somme dépasse un seuil — la formule tombe, et c'est l'identité de Wald qui la remplace, sous l'hypothèse que [formule] soit un temps d'arrêt. 💡 À retenir. Trois outils qui se répondent : la tour [formule] pour toute somme aléatoire, la décomposition de la variance en « moyenne des variances plus variance des moyennes », et le fait que la génératrice composée [formule] donne directement la loi d'une somme aléatoire — ici [formule].