Soit [formule] avec [formule]. Montrer que [formule] pour [formule].
Écrivez [formule] et appliquez Hölder avec [formule]. Où la mesure finie intervient-elle exactement ?
L'inclusion vient d'une seule application de Hölder, mais avec des exposants qu'il faut savoir choisir : on écrit [formule] comme un produit [formule], et on répartit les exposants pour que la puissance de [formule] retombe sur [formule]. La mesure finie sert à ce que le facteur constant soit intégrable — et c'est là qu'elle est indispensable. Rappel — Hölder généralisé. Pour [formule] : [formule]. Ici on prendra [formule], dont le conjugué est [formule]. Le calcul. Soit [formule] et [formule]. On écrit [formule] et on applique Hölder avec ces exposants : [formule]. L'inégalité finale. En élevant à la puissance [formule] : [formule], puisque [formule]. En particulier [formule] : l'inclusion [formule] est établie, et elle est continue — l'inégalité est exactement la continuité de l'injection. Où sert la mesure finie. Uniquement dans le second facteur : [formule] doit être fini. Si [formule], ce facteur vaut [formule] et l'inégalité ne dit plus rien. Et l'inclusion tombe vraiment. Sur [formule], prenons [formule]. Alors [formule] converge si et seulement si [formule]. Donc [formule] mais [formule] : on a bien [formule] et pourtant [formule]. ⚠️ L'erreur classique : transposer aux SUITES, où l'inclusion est INVERSÉE. Pour la mesure de comptage, [formule] dès que [formule] — le contraire. La raison est structurelle : sur un espace de mesure finie, ce sont les grandes valeurs de [formule] qui posent problème, et un exposant plus grand les pénalise davantage ; pour une suite, il n'y a pas de « petites valeurs accumulées », et c'est la queue qui décide. Exemple : [formule] est dans [formule] et pas dans [formule]. 💡 À retenir. Deux réflexes opposés selon l'espace : sur [formule] ou tout espace de probabilité, plus [formule] est grand plus [formule] est petit ([formule]) ; sur [formule] ou tout espace discret, plus [formule] est grand plus [formule] est gros. Et sur [formule] avec la mesure de Lebesgue, aucune inclusion n'a lieu dans un sens ni dans l'autre — les deux obstructions coexistent.