Inclusions entre espaces $L^p$

Énoncé

Soit [formule] avec [formule]. Montrer que [formule] pour [formule].

Indication

Inégalité de Hölder avec les bons exposants.

Solution

Soit [formule]. On applique Hölder à [formule] : [formule]. [formule]. Donc [formule]. Si [formule] alors [formule]. L'inclusion est continue. [formule] Remarque : faux si [formule] (ex : [formule] sur [formule]).