Pour [formule] conjugués ([formule]), montrer [formule].
Ramenez-vous à [formule] par homogénéité — mais écartez d'abord les cas où cette division n'a pas de sens.
La difficulté n'est pas le calcul mais la normalisation : on ne démontre l'inégalité que dans le cas [formule], où elle devient élémentaire, et on s'y ramène par homogénéité. Le moteur ponctuel est l'inégalité de Young, elle-même conséquence de la convexité de l'exponentielle. Rappel — Inégalité de Young. Pour [formule] et [formule] conjugués : [formule]. Elle vient de la convexité de [formule] : si [formule], [formule], les poids [formule] et [formule] étant de somme [formule]. Cas dégénérés, à écarter d'abord. Si [formule] alors [formule] presque partout, les deux membres sont nuls et l'inégalité est vraie. Si [formule] ou [formule], le membre de droite vaut [formule] et il n'y a rien à démontrer. On suppose donc désormais [formule]. Normalisation. Posons [formule] et [formule], de sorte que [formule]. L'inégalité à démontrer se réécrit alors simplement [formule] : c'est légitime car les deux membres sont homogènes de degré [formule] en [formule] et en [formule]. Le cœur. Young appliquée ponctuellement à [formule] et [formule] donne [formule]. En intégrant : [formule]. En remultipliant par [formule] : [formule]. C'est l'inégalité de Hölder. Cas d'égalité. Young est une égalité si et seulement si [formule]. Ici cela impose [formule] presque partout, c'est-à-dire [formule] p.p. : [formule] et [formule] sont proportionnelles. ⚠️ L'erreur classique. Normaliser sans avoir écarté [formule] : on divise alors par zéro ou par l'infini, et toute la démonstration s'écroule sur le cas le plus banal, [formule]. Second piège : croire que [formule] marche pareil. Young exige [formule] ; le cas [formule], [formule] est vrai mais se démontre autrement, par [formule] presque partout. 💡 À retenir. Le schéma « normaliser, puis majorer ponctuellement, puis intégrer » sert bien au-delà de Hölder : c'est celui de Minkowski (qui se déduit de Hölder) et de l'interpolation entre espaces [formule]. Et Cauchy-Schwarz en est le cas particulier [formule].