Soit [formule] et [formule]. Décrire [formule] et donner sa dimension.
Utiliser le théorème de la dimension : [formule].
Le calcul de dimension est immédiat. La difficulté du quotient est ailleurs, et elle est conceptuelle : [formule] n'est pas un sous-espace de [formule], ses éléments ne sont pas des vecteurs mais des classes. Se donner une image concrète de ces classes est ce qui rend la notion utilisable. Ce que sont les éléments de [formule]. La classe de [formule] est [formule]. Géométriquement, [formule] étant le plan [formule], une classe est un plan affine parallèle à [formule] — et [formule] est l'ensemble de ces plans. Deux vecteurs sont dans la même classe si et seulement si leur différence est dans [formule], c'est-à-dire ici si et seulement s'ils ont la même somme de coordonnées. Dimension. [formule] avec [formule], forme linéaire non nulle donc surjective sur [formule]. Le théorème du rang donne [formule], puis [formule] L'isomorphisme, et d'où il vient. L'application [formule] est constante sur chaque classe — si [formule] alors [formule] — donc elle passe au quotient en [formule], [formule]. Cette application est bien définie par la remarque précédente, linéaire, surjective comme [formule], et injective puisque [formule] signifie [formule], soit [formule]. Donc [formule]. On reconnaît le cas particulier de [formule], qui est la forme structurelle du théorème du rang. La propriété universelle, qui est la vraie définition. Toute application linéaire [formule] s'annulant sur [formule] se factorise de manière unique à travers le quotient : il existe une unique [formule] avec [formule], où [formule] est la surjection canonique. C'est exactement ce qu'on vient de faire avec [formule], et c'est ce qui justifie de construire le quotient plutôt que de choisir un supplémentaire : le quotient rend les choses canoniques. ⚠️ [formule] n'est pas un supplémentaire de [formule], même s'il lui ressemble. Tout supplémentaire [formule] de [formule] vérifie [formule] — la restriction de [formule] à [formule] est un isomorphisme —, mais il y a une infinité de supplémentaires et aucun n'est privilégié : ici toute droite non contenue dans le plan convient, par exemple [formule] ou [formule]. Le quotient, lui, est unique et ne demande aucun choix. C'est tout son intérêt, et c'est aussi pourquoi il ne peut pas s'identifier à un sous-espace particulier. Le cas où le quotient devient indispensable. En dimension finie sur un corps, on pourrait toujours choisir un supplémentaire et s'en passer. Ce n'est plus vrai ailleurs : pour les modules sur un anneau, un sous-module n'admet pas toujours de supplémentaire — [formule] n'en a aucun dans [formule] —, et pour les groupes, le quotient [formule] n'existe que si [formule] est distingué, sans qu'un « sous-groupe complémentaire » existe en général. Le quotient est la construction générale ; le supplémentaire est un luxe des espaces vectoriels. 💡 À retenir. Trois choses. Une classe est un translaté de [formule], donc un objet géométrique concret. La propriété universelle — « toute application qui tue [formule] passe au quotient » — est ce qu'on utilise en pratique, jamais la construction. Et [formule], la codimension, qui reste définie même quand [formule] est de dimension infinie et [formule] de codimension finie — cas où le quotient est le seul outil disponible.