Montrer que la mesure de Lebesgue [formule] est la seule mesure sur [formule] invariante par translation avec [formule].
L'invariance donne la mesure des intervalles. Mais qu'est-ce qui permet de passer des intervalles à TOUTE la tribu borélienne ?
L'unicité se démontre en remontant des intervalles vers la tribu : l'invariance par translation force la valeur sur les intervalles dyadiques, puis rationnels, puis tous ; et un théorème d'unicité des mesures propage cela à toute la tribu borélienne. Chacune de ces deux étapes a ses hypothèses. Rappel — Théorème d'unicité (classe monotone, ou lemme de Dynkin). Deux mesures qui coïncident sur un ensemble stable par intersection finie engendrant la tribu, et qui sont [formule]-finies sur cet ensemble, sont égales sur toute la tribu. Les intervalles conviennent : ils sont stables par intersection et engendrent [formule]. Les intervalles de longueur [formule]. Soit [formule] invariante par translation avec [formule]. Par invariance, [formule] ne dépend pas de [formule]. Or [formule], réunion disjointe de [formule] translatés : la [formule]-additivité donne [formule]. Les points sont négligeables, ce qui permet de passer des intervalles semi-ouverts aux fermés. En effet [formule] contient une infinité de translatés disjoints de [formule], tous de même mesure [formule] ; si [formule], la mesure de [formule] serait infinie. Donc [formule] et [formule], d'où [formule]. Les intervalles rationnels. Par additivité, [formule], puis par invariance [formule] pour tous rationnels [formule]. Par continuité monotone de la mesure, l'égalité s'étend à tous les réels : [formule] et [formule] coïncident sur tous les intervalles. Conclusion. Les intervalles étant stables par intersection, engendrant [formule], et [formule] comme [formule] étant [formule]-finies (car [formule] de mesure finie), le théorème d'unicité donne [formule] sur toute la tribu borélienne. ⚠️ L'erreur classique. Croire que « coïncider sur les intervalles » suffit, sans invoquer un théorème d'unicité. Ce n'est pas immédiat : la tribu borélienne est bien plus grosse que ce qu'on atteint par réunions dénombrables d'intervalles, et c'est le lemme de Dynkin — avec son hypothèse de [formule]-finitude — qui fait le pont. Second oubli : la normalisation [formule] est indispensable, sinon toute mesure [formule] conviendrait. 💡 À retenir. Ce résultat identifie [formule] comme l'unique mesure de Haar de [formule] normalisée — tout groupe localement compact en possède une, unique à constante près. C'est aussi ce qui rend la mesure de Lebesgue canonique : elle n'est pas un choix parmi d'autres, elle est imposée par l'invariance par translation.