Résoudre [formule] avec [formule], [formule].
Équation caractéristique [formule].
La méthode est un algorithme, et l'exercice ne devient formateur qu'en comprenant pourquoi l'équation caractéristique gouverne tout : les suites solutions forment un espace vectoriel de dimension [formule], et les suites géométriques en fournissent une base dès que les racines sont distinctes. C'est cette structure qu'il faut retenir, pas la recette. Rappel — la structure de l'ensemble des solutions. L'ensemble [formule] des suites vérifiant [formule] est un sous-espace vectoriel de l'espace des suites. Il est de dimension [formule] : l'application [formule] est un isomorphisme de [formule] sur [formule], puisque la donnée des deux premiers termes détermine toute la suite et que tout couple est admissible. Il suffit donc d'exhiber deux solutions indépendantes. D'où vient l'équation caractéristique. Cherchons les solutions géométriques [formule] avec [formule]. La relation devient [formule], soit après division par [formule] : [formule] Les deux racines [formule] et [formule] sont distinctes, donc [formule] et [formule] sont deux solutions non proportionnelles : elles forment une base de [formule], et [formule] Détermination des constantes. [formule] En soustrayant deux fois la première de la seconde : [formule], puis [formule]. D'où [formule] Contrôle sur trois termes. [formule] ✓, [formule] ✓, et [formule], à comparer avec la récurrence : [formule] ✓. Vérifier le troisième terme est essentiel : les deux premiers sont imposés par construction et ne testent que la résolution du système, alors que le troisième teste la formule elle-même. Le comportement asymptotique se lit sur la formule. [formule] : la suite tend vers [formule], et elle change de signe dès [formule]. Les premiers termes [formule] ne le laissaient pas deviner. C'est la plus grande racine en module qui domine, principe qui vaut pour toute récurrence linéaire — et qui explique pourquoi [formule] tend vers le nombre d'or. ⚠️ Le cas de la racine DOUBLE se traite autrement, et l'oubli est classique. Si l'équation caractéristique a une racine double [formule], les suites [formule] n'engendrent qu'une droite : il en manque une. La bonne base est alors [formule], le facteur [formule] apparaissant exactement comme dans le bloc de Jordan de taille [formule] — ce n'est pas une coïncidence, la matrice compagnon de la récurrence n'y étant pas diagonalisable. Et si les racines sont complexes conjuguées [formule], la base réelle est [formule]. 💡 À retenir. La lecture matricielle unifie tout : poser [formule] donne [formule] avec [formule] la matrice compagnon, dont le polynôme caractéristique est l'équation caractéristique. Résoudre la récurrence, c'est calculer [formule] — donc diagonaliser si les racines sont distinctes, et passer par Jordan sinon. Les trois cas (racines distinctes, double, complexes) sont les trois formes réduites possibles.