Trouver toutes les fonctions [formule] continues vérifiant [formule].
Élargissez le domaine par étapes : entiers, puis rationnels. Où sert exactement la continuité — et peut-on l'affaiblir ?
La démonstration progresse par élargissement du domaine : on établit [formule] d'abord pour [formule] entier, puis rationnel — ce qui n'utilise que l'équation — et l'on passe aux réels par continuité et densité. C'est le seul endroit où l'hypothèse de régularité sert, et sans elle le résultat est faux. Rappel — Le schéma. Une propriété vraie sur une partie dense et préservée par passage à la limite s'étend à tout l'espace, à condition que les deux membres soient continus. Ici [formule] et [formule] le sont, et [formule] est dense dans [formule]. En [formule], et le signe. [formule] donne [formule]. Puis [formule], donc [formule] est impaire. Les entiers, puis les rationnels. Une récurrence immédiate donne [formule] pour [formule], et l'imparité l'étend à [formule]. Ensuite, en appliquant cela à [formule] : [formule], donc [formule]. En combinant, [formule] pour tout [formule]. Sur [formule], la forme est acquise. En prenant [formule] et [formule] : [formule] pour tout rationnel [formule]. Passage aux réels. Soit [formule] et [formule] une suite de rationnels tendant vers [formule]. Par continuité de [formule], [formule]. D'où [formule], et réciproquement toute telle fonction convient. ⚠️ L'erreur classique : croire que la continuité est indispensable telle quelle. Elle est très surdimensionnée. Il suffit que [formule] soit continue en un seul point, ou monotone sur un intervalle, ou bornée sur un ensemble de mesure positive, ou simplement mesurable : chacune de ces hypothèses force [formule]. C'est dire à quel point les solutions pathologiques sont fragiles. 💡 À retenir. Sans aucune hypothèse de régularité, l'axiome du choix fournit d'autres solutions, construites sur une base de Hamel de [formule] vu comme [formule]-espace vectoriel. Leur graphe est dense dans le plan [formule] — elles sont donc discontinues en tout point et non mesurables. Elles ne sont pas exhibables : leur existence dépend du choix, ce qui en fait l'exemple standard d'objet dont on prouve l'existence sans jamais en voir un.