Équation fonctionnelle de Cauchy

Énoncé

Trouver toutes les fonctions [formule] continues vérifiant [formule].

Indication

Montrer d'abord que [formule] pour [formule], puis utiliser la continuité.

Solution

[formule] : [formule]. [formule] par récurrence. [formule]. [formule]. Donc [formule] pour tout [formule]. En particulier [formule] pour tout [formule] avec [formule]. Par continuité et densité de [formule] : [formule] pour tout [formule]. Sans continuité : il existe des solutions pathologiques (non mesurables, via axiome du choix). [formule]