Résoudre [formule].
Comparez le second membre à la solution homogène AVANT de choisir la forme d'essai. Puis posez [formule] : que devient l'équation ?
Une équation linéaire à coefficients constants se résout toujours en deux temps : la solution générale de l'équation homogène, plus une solution particulière. Le seul point délicat ici est la résonance — le second membre est bâti sur la même exponentielle que la solution homogène, ce qui interdit la forme d'essai naïve. Rappel — Second membre de la forme [formule]. On cherche une solution particulière [formule], où [formule] a le même degré que [formule] et où [formule] est la multiplicité de [formule] comme racine de l'équation caractéristique. Le facteur [formule] est ce qui compense la résonance ; l'oublier conduit à une identité impossible. Équation homogène. [formule] : racine double [formule], d'où [formule]. Forme d'essai. Le second membre est [formule], donc [formule] de degré [formule] et [formule], racine de multiplicité [formule]. On cherche donc [formule]. Le calcul montrera que [formule] ; on peut donc partir directement de [formule]. Le calcul, en évitant les dérivées de produit. Posons [formule]. Alors [formule] : l'opérateur [formule] se réduit à une double dérivation de [formule]. L'équation devient donc simplement [formule]. D'où [formule] (à un élément de [formule] près), soit [formule], et la solution générale [formule]. ⚠️ L'erreur classique. Chercher [formule] sans le facteur [formule]. On tombe alors sur [formule] : une impossibilité, mais dont la cause n'est pas évidente si l'on n'a pas repéré la résonance. Le réflexe qui protège : comparer le second membre à la solution homogène avant de choisir la forme d'essai — s'ils partagent une exponentielle, il y a résonance. 💡 À retenir. La substitution [formule] transforme [formule] en [formule] : c'est le meilleur outil pour ces équations, il rend la résonance automatique au lieu d'être un cas à mémoriser. Le degré du facteur [formule] apparaît alors tout seul, comme constante d'intégration.