Résoudre le problème de Cauchy [formule], [formule] pour [formule] quelconque, et déterminer l'intervalle maximal en fonction de [formule]. Existe-t-il un temps [formule] tel que toutes les solutions soient définies sur [formule] ?
Résolvez avec [formule] littéral, puis regardez ce que devient le temps d'explosion quand [formule] grandit.
La même équation avec une donnée initiale quelconque révèle ce que le cas [formule] cache : l'intervalle maximal n'est pas une propriété de l'équation, il dépend de la condition initiale. C'est ce qui distingue radicalement le non-linéaire du linéaire. Rappel — Intervalle maximal. Cauchy-Lipschitz fournit une unique solution maximale, définie sur un intervalle ouvert [formule] qui dépend du point de départ. Rien ne garantit que [formule] : c'est le cas pour toute équation linéaire à coefficients continus, ce n'est pas le cas ici. Résolution générale. Pour [formule], la solution ne s'annule jamais (sinon elle rencontrerait la solution nulle, ce que l'unicité interdit), donc on peut séparer : [formule] s'intègre en [formule], soit [formule]. Cas [formule]. Le dénominateur s'annule en [formule], où [formule] : l'intervalle maximal est [formule] et le temps d'explosion vaut [formule]. Pour [formule] on retrouve [formule]. Le fait marquant : il n'existe AUCUN temps d'existence uniforme. Quand [formule], [formule]. Aussi petit que soit [formule], il existe des données initiales dont la solution n'atteint pas [formule]. On ne peut donc pas définir de flot sur [formule], si petit soit [formule]. L'asymétrie du sens du temps. Pour [formule], le dénominateur [formule] reste [formule] pour tout [formule] : la solution est globale vers le futur (et tend vers [formule]), mais explose vers le passé en [formule]. Et pour [formule], [formule] est globale dans les deux sens. Trois comportements pour une seule équation. ⚠️ L'erreur classique. Écrire « l'équation [formule] explose en temps fini » comme une propriété de l'équation. C'est faux : l'équation ne dit rien, c'est le couple équation + donnée initiale qui explose ou non. Second piège : confondre « la solution n'est pas définie après [formule] » avec « la formule [formule] n'a pas de sens après [formule] ». La formule en a un ; c'est une autre solution maximale, sur l'intervalle suivant, sans lien avec la nôtre. 💡 À retenir. Le critère à retenir : une solution maximale ne s'arrête jamais sans raison — si [formule], c'est que [formule]. Autrement dit, pour prouver qu'une solution est globale, il suffit de la borner a priori : c'est exactement le rôle du lemme de Gronwall.