Résoudre [formule] sur [formule] avec [formule] et [formule].
La séparation donne une famille de modes. Qu'est-ce qui garantit qu'une combinaison atteint TOUTE condition initiale ?
La séparation des variables ne « résout » pas l'équation : elle en fabrique une famille de solutions élémentaires, dont on cherche ensuite une combinaison qui satisfasse la condition initiale. Ici cette condition est déjà l'un des modes propres, ce qui rend la série triviale — un seul terme. Rappel — Le principe. On cherche d'abord des solutions à variables séparées [formule]. L'équation devient [formule] : le membre de gauche ne dépend que de [formule], celui de droite que de [formule], donc tous deux sont constants. On note cette constante [formule]. Le problème en espace. [formule] avec [formule]. C'est un problème aux valeurs propres : pour [formule] les solutions sont exponentielles ou affines et ne peuvent s'annuler deux fois sans être nulles ; pour [formule], [formule] convient. Les modes propres sont donc [formule], [formule], [formule]. Le problème en temps. [formule] donne [formule]. Chaque mode décroît, et d'autant plus vite qu'il oscille : c'est déjà tout le comportement de l'équation de la chaleur. La condition initiale. La solution générale est [formule], et [formule] doit valoir [formule]. Par unicité des coefficients de Fourier, [formule] et [formule] pour [formule]. [formule]. Contrôle direct : [formule] et [formule] coïncident, les bords sont nuls, et [formule] — vérifié numériquement. ⚠️ L'erreur classique. Croire que la séparation des variables donne toutes les solutions. Elle n'en donne qu'une famille ; c'est la complétude de [formule] dans [formule] qui garantit qu'on peut atteindre toute condition initiale par superposition, et l'unicité — qu'on démontre par un argument d'énergie, en dérivant [formule] — qui garantit qu'on ne rate rien d'autre. Sans ces deux ingrédients, on a exhibé une solution, pas résolu le problème. 💡 À retenir. Le facteur [formule] écrase les hautes fréquences exponentiellement vite : la chaleur régularise instantanément, une donnée initiale seulement [formule] devenant [formule] pour tout [formule]. C'est aussi ce qui rend le problème irréversible — remonter le temps amplifierait ces mêmes fréquences, et le problème rétrograde est mal posé.