Caractérisation des endomorphismes auto-adjoints

Énoncé

Montrer que [formule] est auto-adjoint si et seulement si [formule] pour tout [formule] (en dimension finie sur [formule]).

Indication

Polarisation : développer [formule].

Solution

([formule]) : Si [formule], alors [formule], donc [formule]. ([formule]) : Posons [formule]. Par polarisation : [formule]. [formule]. Comme [formule] est réel et par symétrie, on obtient [formule] : [formule]. [formule]