Montrer que [formule] est auto-adjoint si et seulement si [formule] pour tout [formule] (en dimension finie sur [formule]).
Polarisation : développer [formule].
L'énoncé précise « sur [formule] », et cette mention n'est pas une coquetterie : l'équivalence est fausse sur [formule], où la condition ne dit rien du tout. Comprendre pourquoi éclaire le rôle exact de la conjugaison dans le sens réciproque, qui est la seule partie difficile. Rappel — adjoint et polarisation. En dimension finie sur [formule] muni d'un produit scalaire hermitien, l'adjoint [formule] est l'unique endomorphisme vérifiant [formule] pour tous [formule]. L'identité de polarisation complexe reconstruit la forme sesquilinéaire à partir de sa forme quadratique : [formule] Sens direct. Si [formule], alors [formule] — la deuxième égalité étant la symétrie hermitienne. Un nombre égal à son conjugué est réel, donc [formule] pour tout [formule]. Sens réciproque. Supposons [formule] à valeurs réelles. La polarisation donne [formule] comme combinaison des quatre nombres réels [formule] et [formule], à coefficients [formule]. En conjuguant, les deux premiers termes sont inchangés et les deux derniers changent de signe : [formule] Or [formule], la forme [formule] étant invariante par multiplication par un module [formule] — car [formule]. En réorganisant, le membre de droite est exactement la polarisation de [formule]. Donc [formule], c'est-à-dire [formule]. ⚠️⚠️ Sur [formule], l'énoncé est FAUX, et le contre-exemple est la rotation d'un quart de tour. Dans un espace euclidien réel, [formule] est réel par construction — la condition est donc vide et ne peut rien caractériser. Prenons [formule] sur [formule] : pour tout vecteur, [formule] ce qui est bien réel. Et pourtant [formule] : [formule] est antisymétrique, l'exact contraire d'auto-adjoint. La conjugaison complexe est donc ce qui donne son mordant à l'hypothèse. L'énoncé réel correct. Sur [formule], ce qui caractérise l'auto-adjonction est [formule] pour tous [formule] et [formule] — deux variables, pas une. La polarisation réelle [formule] ne reconstruit que la partie symétrique de la forme bilinéaire ; la partie antisymétrique, invisible sur la diagonale, est précisément ce que la rotation ci-dessus exploite. 💡 À retenir. Un corollaire important du sens direct : les valeurs propres d'un endomorphisme auto-adjoint sont réelles, puisque [formule] pour un vecteur propre. Et la contrepartie complexe de ce phénomène est générale — sur [formule], la forme quadratique détermine la forme sesquilinéaire, alors que sur [formule] elle n'en détermine que la partie symétrique. C'est la même raison qui rend [formule] pour tout [formule] équivalent à [formule] sur [formule], et faux sur [formule].