Soit [formule] nilpotente avec [formule] et [formule]. Donner la forme de Jordan de [formule].
Utiliser la suite des rangs [formule] pour déterminer la taille des blocs.
La suite des rangs détermine entièrement la forme de Jordan d'une nilpotente, et la formule qui les relie est facile à mal appliquer : elle donne le nombre de blocs de taille au moins [formule], jamais le nombre de blocs de taille exactement [formule]. C'est le point sur lequel cet exercice se joue. Rappel — la lecture des rangs. Pour [formule] nilpotente, chaque bloc de Jordan [formule] voit son rang diminuer de [formule] à chaque puissance, jusqu'à s'annuler après [formule] étapes. Il en résulte [formule] car seuls les blocs de taille [formule] contribuent encore à la [formule]-ième différence. La suite des différences est donc décroissante — c'est un contrôle gratuit sur le calcul. Les données. [formule] (c'est [formule]), [formule], [formule]. Comme [formule] est nilpotente de taille [formule], [formule] ; et la suite des rangs étant strictement décroissante tant qu'elle n'est pas nulle, de [formule] on ne peut que passer à [formule] : [formule]. Différences : [formule] Elles sont bien décroissantes. ✓ Le passage aux tailles exactes. Les différences donnent : [formule] blocs de taille [formule], [formule] de taille [formule], [formule] de taille [formule], et [formule] de taille [formule]. En soustrayant deux à deux, on obtient les tailles exactes : [formule] Il y a donc un bloc [formule] et un bloc [formule]. Contrôles, tous les trois immédiats. La somme des tailles doit valoir [formule] : [formule]. ✓ Le nombre total de blocs doit valoir [formule]. ✓ Et la taille du plus grand bloc doit être l'indice de nilpotence, ici [formule] puisque [formule] mais [formule]. ✓ La forme est donc [formule] dont les rangs successifs ont été recalculés : [formule], conformes aux données. ⚠️ Confondre « au moins [formule] » et « exactement [formule] » donne une forme fausse de la bonne taille. Ici la lecture naïve donnerait [formule] blocs de taille [formule], [formule] de taille [formule] et [formule] de taille [formule] — soit [formule]. Le contrôle par la somme des tailles attrape immédiatement l'erreur, ce qui en fait la vérification la plus rentable de l'exercice. 💡 À retenir. La suite [formule] est un invariant de similitude complet pour les nilpotentes : deux nilpotentes de même taille sont semblables si et seulement si leurs suites de rangs coïncident. Les classes de similitude des nilpotentes de [formule] sont donc en bijection avec les partitions de [formule] — il y en a [formule] pour [formule]. Pour une matrice quelconque, on applique cela à [formule] restreinte à chaque sous-espace caractéristique.