Montrer que [formule] est irréductible dans [formule].
Appliquer le critère d'Eisenstein avec [formule].
L'application du critère est une vérification de divisibilités, faisable en trente secondes. Ce qui mérite d'être compris, c'est pourquoi ce critère fonctionne — la démonstration tient en un raisonnement modulo [formule] — et surtout ce qu'il ne dit pas, car un échec du critère n'est jamais une preuve de réductibilité. Rappel — critère d'Eisenstein. Soit [formule] à coefficients entiers. S'il existe un premier [formule] tel que [formule] alors [formule] est irréductible sur [formule]. Les trois conditions sont indispensables et portent sur des coefficients différents : la première sur le dominant, la deuxième sur tous les autres, la troisième sur le seul terme constant. Vérification sur [formule] avec [formule]. Le coefficient dominant est [formule], non divisible par [formule]. ✓ Les coefficients intermédiaires et constant sont [formule], [formule], [formule], [formule] : tous divisibles par [formule]. ✓ Et [formule]. ✓ Les trois conditions sont réunies, donc [formule] est irréductible sur [formule]. Pourquoi ça marche. Supposons [formule] avec [formule] dans [formule] de degrés [formule]. Réduisons modulo [formule] : tous les coefficients de [formule] sauf le dominant s'annulent, donc [formule] Comme [formule] est factoriel et que [formule] y est irréductible, [formule] et [formule] sont chacun un monôme en [formule] — donc leurs termes constants sont nuls modulo [formule], c'est-à-dire divisibles par [formule]. Mais alors [formule] est divisible par [formule], ce qui contredit la troisième condition. Le pont entre [formule] et [formule] : le lemme de Gauss. La démonstration ci-dessus factorise dans [formule], alors que l'énoncé porte sur [formule]. C'est le lemme de Gauss qui les relie : un polynôme primitif de [formule] irréductible dans [formule] l'est aussi dans [formule]. Sans lui, le critère ne dirait rien sur [formule] — une factorisation rationnelle pourrait a priori échapper au raisonnement entier. ⚠️ Le critère est SUFFISANT, jamais nécessaire. Ne pas trouver de premier convenable ne prouve rien du tout. Exemple minimal : [formule] est irréductible sur [formule], et pourtant aucun [formule] ne convient — il faudrait [formule] divisant le coefficient de [formule], qui est [formule] (toujours vrai), et [formule] divisant le terme constant [formule], ce qui est impossible. Conclure « Eisenstein échoue donc [formule] est réductible » est l'erreur la plus fréquente sur ce chapitre. Les deux recours quand Eisenstein échoue. D'abord la translation [formule], qui ne change pas l'irréductibilité et peut faire apparaître un premier convenable — c'est ce que fait l'exercice voisin sur le polynôme cyclotomique. Ensuite la réduction modulo [formule] pour un [formule] ne divisant pas le dominant : si [formule] est irréductible dans [formule], alors [formule] l'est sur [formule] — et cette fois le test est effectif, [formule] n'ayant qu'un nombre fini de polynômes de chaque degré. 💡 À retenir. Eisenstein n'est pas une recette de vérification mais un cas particulier lisible d'un principe général : réduire modulo [formule] pour rigidifier. Le passage à [formule] écrase les coefficients et rend la factorisation beaucoup plus contrainte ; toute l'astuce consiste à choisir un [formule] qui écrase juste ce qu'il faut. Retenir aussi que le critère fournit, en prime, des polynômes irréductibles de tout degré sur [formule] — par exemple [formule] pour n'importe quel [formule].