Soit [formule] avec base [formule]. Déterminer la base duale [formule] et les coordonnées de [formule] dans cette base.
[formule].
Le calcul est immédiat sur la base canonique, au point qu'on peut manquer ce qu'il y a à comprendre. La base duale n'est pas une transformation vecteur par vecteur : [formule] dépend de toute la base, [formule] compris. C'est le point que l'exercice permet d'isoler, et il se voit sur un exemple à deux lignes. Rappel — base duale. [formule] est l'espace des formes linéaires sur [formule]. À une base [formule] de [formule] on associe les [formule] formes définies par [formule] Comme une application linéaire est déterminée par les images des vecteurs d'une base, cela définit bien chaque [formule] sans ambiguïté. Pourquoi [formule] est une base de [formule]. Elle est génératrice : pour [formule], posons [formule] ; alors [formule] pour tout [formule], donc [formule]. Elle est libre : si [formule], évaluer en [formule] donne [formule]. Il en résulte [formule] en dimension finie — égalité qui tombe en dimension infinie, où le dual est strictement plus gros. Application. Sur [formule] muni de la base canonique, [formule] et [formule] : les formes coordonnées. Pour [formule], la formule ci-dessus donne directement [formule] soit les coordonnées [formule]. Contrôle : [formule] et [formule]. Les coefficients d'une forme dans la base duale sont donc simplement ses valeurs sur la base — c'est ce qui rend le calcul immédiat. ⚠️ [formule] dépend de [formule], et l'exemple le montre en deux lignes. Gardons [formule] mais remplaçons [formule] par [formule]. La nouvelle forme [formule] doit vérifier [formule] et [formule]. En cherchant [formule] : [formule] puis [formule], donc [formule] et [formule] Le vecteur [formule] n'a pas bougé, sa forme duale si. La notation [formule] est donc trompeuse : elle suggère une opération sur [formule] seul, alors qu'il faudrait écrire quelque chose comme [formule]. La conséquence structurelle. L'isomorphisme [formule] qui envoie [formule] sur [formule] existe, mais il dépend du choix de la base : il n'est pas canonique. En revanche l'application [formule] qui à [formule] associe la forme [formule] ne fait intervenir aucune base, et c'est un isomorphisme en dimension finie. C'est pourquoi l'on identifie librement [formule] et [formule], mais jamais [formule] et [formule] — sauf en présence d'un produit scalaire, qui fournit précisément l'identification canonique manquante. 💡 À retenir. Trois faits. Les coordonnées d'une forme dans la base duale sont ses valeurs sur la base. La base duale dépend de la base entière, jamais d'un vecteur isolé. Et la dualité renverse les flèches : à [formule] correspond la transposée [formule], dont la matrice dans les bases duales est la transposée de celle de [formule] — c'est l'origine du mot.