Montrer que [formule] isométriquement.
Une forme continue est déterminée par ses valeurs sur les [formule]. Qu'est-ce qui permet de passer de là à une série — et pourquoi cela échoue-t-il dans [formule] ?
L'identification se lit sur la base canonique : une forme linéaire continue est entièrement déterminée par ses valeurs [formule], et la continuité impose exactement que cette suite soit bornée. Le point à ne pas escamoter est le passage de « déterminée sur les [formule] » à « donnée par la série », qui repose sur une densité. Rappel — Densité des suites à support fini. Les suites n'ayant qu'un nombre fini de termes non nuls sont denses dans [formule] : si [formule], alors [formule], reste d'une série convergente. ⚠️ C'est faux dans [formule] — la suite constante [formule] est à distance [formule] de toute suite à support fini — et c'est déjà l'indice que la dualité ne sera pas symétrique. Sens direct. Soit [formule] et [formule]. Comme [formule], on a [formule] pour tout [formule], donc [formule] avec [formule]. La formule intégrale, et c'est ici que sert la densité. Pour [formule], la suite [formule] converge vers [formule] en norme [formule] ; [formule] étant continue, [formule], la série convergeant absolument puisque [formule]. L'inégalité inverse s'en déduit : [formule] donne [formule]. Avec le sens direct, [formule] : l'application [formule] est une isométrie. Surjectivité. Réciproquement, toute suite bornée [formule] définit [formule], forme linéaire continue de norme [formule]. L'isométrie est donc bijective : [formule]. ⚠️ L'erreur classique : croire que la relation est symétrique. Elle ne l'est pas. [formule] est strictement plus gros que [formule] : il contient des formes qui s'annulent sur toutes les suites convergeant vers [formule] (les limites de Banach, obtenues par Hahn-Banach), et qu'aucune suite sommable ne peut représenter. Conséquence : [formule] n'est pas réflexif — son bidual [formule] le contient strictement. La démonstration ci-dessus ne se transpose pas, faute de densité des suites à support fini dans [formule]. 💡 À retenir. Le schéma « évaluer sur la base canonique, majorer, puis recoller par densité » donne toute la famille : [formule] pour [formule] avec [formule]. Et il s'arrête à [formule], exactement là où la densité tombe — ce qui n'est pas un hasard mais la raison même de l'asymétrie.