Montrer que le dual de [formule] est [formule] où [formule] (pour [formule]).
Un sens est immédiat par Hölder. Pour l'autre, quelle mesure construire à partir de [formule], et quelle hypothèse Radon-Nikodym exige-t-il ?
C'est un théorème long, et l'essentiel est d'en connaître l'architecture plutôt que chaque détail : un sens est immédiat par Hölder, l'autre demande Radon-Nikodym. On indique ci-dessous où se trouve la difficulté réelle, et quelles hypothèses ne peuvent pas être omises. Rappel — Les deux ingrédients. Hölder : [formule] pour [formule]. Radon-Nikodym : si [formule] est une mesure signée absolument continue par rapport à [formule], et si [formule] est [formule]-finie, alors [formule] admet une densité [formule] telle que [formule]. La [formule]-finitude est une hypothèse du théorème, pas une commodité. Sens facile : [formule]. Pour [formule], l'application [formule] est linéaire, et Hölder donne [formule] : elle est continue de norme [formule]. L'égalité s'obtient en testant sur [formule], qui est dans [formule] et réalise le cas d'égalité de Hölder. L'injection est donc isométrique. Sens difficile : toute [formule] est de cette forme. On pose [formule] pour [formule] de mesure finie. On vérifie que [formule] est une mesure signée [formule]-additive — la [formule]-additivité vient de la continuité de [formule] — et qu'elle est absolument continue : si [formule] alors [formule] dans [formule], donc [formule]. Radon-Nikodym fournit alors [formule] avec [formule]. Le vrai travail est de montrer que [formule] — l'énoncé de la question, souvent expédié en une ligne. On l'obtient en testant [formule] sur [formule] où [formule] tronque [formule], ce qui donne [formule] uniformément, puis en passant à la limite par convergence monotone. On étend enfin [formule] des fonctions étagées à tout [formule] par densité. ⚠️ L'erreur classique : croire que le résultat vaut pour [formule]. Il est faux : [formule] strictement, pour la même raison que [formule] — Hahn-Banach fabrique des formes qu'aucune fonction intégrable ne représente. Le théorème vaut pour [formule], et le cas [formule] (donc [formule]) exige en plus la [formule]-finitude. Second oubli : la densité des fonctions étagées, sans laquelle on n'a représenté [formule] que sur les indicatrices. 💡 À retenir. La conséquence structurelle est que [formule] est réflexif pour [formule] — son bidual est [formule] — et ne l'est ni pour [formule] ni pour [formule]. C'est la réflexivité qui donne la compacité faible des bornés (théorème de Banach-Alaoglu plus Kakutani), donc l'existence de minimiseurs en calcul des variations. La théorie [formule] est le cas le plus simple, puisque [formule] et que Riesz suffit.