Dual de Lᵖ

Énoncé

Montrer que le dual de [formule] est [formule] où [formule] (pour [formule]).

Indication

Utiliser Hölder et Radon-Nikodym.

Solution

Soit [formule]. Définir la mesure [formule] par [formule]. Par Radon-Nikodym, [formule] mesurable telle que [formule]. Montrer que [formule] et [formule]. Réciproquement, pour [formule], [formule] est dans [formule] par Hölder. Conclusion : [formule] isométriquement.