Montrer que [formule] où [formule] est la fonction de Möbius, [formule] et [formule].
Calculer [formule] pour [formule] premier, puis [formule].
L'identité se vérifie sur les puissances de premiers puis s'étend par multiplicativité. Mais elle n'est pas une curiosité : elle dit que [formule] est l'inverse de [formule] dans un anneau, et c'est cette lecture qui rend la formule d'inversion de Möbius évidente au lieu de mystérieuse. Rappel — l'anneau des fonctions arithmétiques. La convolution de Dirichlet est [formule] Elle est commutative, associative, distributive sur l'addition, et admet pour élément neutre [formule]. L'ensemble des fonctions arithmétiques en fait un anneau commutatif, dans lequel [formule] est inversible si et seulement si [formule] — l'inverse se construisant de proche en proche, exactement comme pour les séries formelles. Le calcul sur les puissances de premiers. [formule]. Pour [formule] : la somme vaut [formule]. Pour [formule] avec [formule], les diviseurs sont [formule], et [formule] dès que [formule] : [formule] Extension par multiplicativité — le pas qu'il faut justifier. La convolution de deux fonctions multiplicatives est multiplicative : pour [formule], tout diviseur de [formule] s'écrit de façon unique [formule] avec [formule], [formule], ce qui factorise la somme. Comme [formule] et [formule] le sont, [formule] l'est aussi. Une fonction multiplicative étant déterminée par ses valeurs sur les [formule], et celles-ci coïncidant avec [formule], on conclut [formule] Contrôle : la somme des [formule] vaut [formule] pour [formule]. Ce que le résultat sert à faire : l'inversion de Möbius. Puisque [formule] est l'inverse de [formule], [formule] La démonstration n'est plus qu'une multiplication par l'inverse dans un anneau — il n'y a rien de plus à faire. C'est la reformulation qui rend le théorème trivial. Application immédiate : la formule d'Euler. L'identité [formule] s'écrit [formule]. En convolant par [formule] : [formule] la dernière égalité venant de ce que seuls les diviseurs sans facteur carré contribuent. On retrouve exactement la formule produit de l'indicatrice, démontrée au lieu d'être admise. Contrôle : [formule] vaut [formule] pour [formule], comme [formule]. ⚠️ La convolution de Dirichlet n'est pas le produit terme à terme. [formule] n'a rien à voir avec [formule], et une fonction peut être multiplicative sans être un morphisme : [formule], la multiplicativité n'exigeant que [formule] pour [formule] premiers entre eux. Confondre les deux notions est l'erreur qui invalide tous les calculs de ce chapitre. 💡 À retenir. La convolution de Dirichlet correspond au produit des séries de Dirichlet : [formule]. L'identité [formule] y devient [formule] — c'est de là que la fonction de Möbius tire son importance en théorie analytique des nombres.