Produit de convolution de Dirichlet

Énoncé

Montrer que [formule] où [formule] est la fonction de Möbius, [formule] et [formule].

Indication

Calculer [formule] pour [formule] premier, puis [formule].

Solution

[formule]. Pour [formule] : [formule]. ✓ Pour [formule] premier : [formule]. ✓ Pour [formule], [formule] : [formule]. ✓ Cas général : [formule] est multiplicative, et on a montré que [formule] pour [formule]. Donc [formule] : la fonction de Möbius est l'inverse de [formule] pour la convolution de Dirichlet. [formule]