Diagonaliser orthogonalement [formule].
[formule] où [formule] est la matrice pleine de 1.
L'indication donne toute la solution : [formule], où [formule] est la matrice pleine de [formule]. Reconnaître cette structure évite entièrement le calcul du polynôme caractéristique, car le spectre de [formule] se lit sans effort. La correction d'origine s'arrêtait avant de donner [formule] ; on la mène ici jusqu'à la matrice explicite et à sa vérification. Le spectre de [formule], sans calcul. [formule] est de rang [formule] — toutes ses lignes sont égales —, donc [formule] est valeur propre d'espace propre [formule], de dimension [formule]. Et [formule], donc [formule] est valeur propre. Comme [formule], le spectre est complet : [formule]. Transfert à [formule]. [formule], donc [formule] : tout vecteur propre de [formule] pour [formule] est vecteur propre de [formule] pour [formule], avec les mêmes sous-espaces propres. D'où [formule] Contrôles : [formule] ✓ et [formule] ✓ — deux vérifications gratuites qu'il faut prendre l'habitude de faire. Pourquoi la diagonalisation est ORTHOGONALE. [formule] est symétrique réelle, donc le théorème spectral s'applique : elle est diagonalisable en base orthonormée. On le voit ici directement, [formule] et [formule] étant orthogonaux — [formule] est précisément l'hyperplan de normale [formule], qui engendre [formule]. Ce n'est pas une coïncidence : pour un endomorphisme auto-adjoint, deux sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont toujours orthogonaux. Construction de [formule]. Il faut une base orthonormée de chaque sous-espace propre. Pour [formule] : [formule]. Pour [formule], le plan [formule], deux vecteurs orthogonaux suffisent — [formule] et [formule] conviennent, leur produit scalaire valant [formule]. D'où [formule] Vérification numérique : [formule] et [formule], calculés exactement. ⚠️ Dans le cas orthogonal, on écrit [formule] et non [formule] — mais encore faut-il que [formule] le mérite. [formule] n'est orthogonale que si ses colonnes sont normées, pas seulement orthogonales. Oublier de diviser par [formule], [formule] et [formule] donne une matrice de passage parfaitement valable pour [formule], mais pour laquelle [formule]. Et l'ordre des colonnes de [formule] doit correspondre à l'ordre des valeurs propres dans [formule] : ici les deux premières colonnes engendrent [formule], donc [formule] commence par [formule]. 💡 À retenir. Le réflexe qui fait gagner tout le calcul : chercher si la matrice s'écrit [formule] avec [formule] de spectre connu — matrice de rang [formule], matrice de permutation, matrice circulante. Une matrice de rang [formule] comme [formule] a pour spectre [formule] avec multiplicité [formule] et [formule] une fois, ce qui donne toute la réponse en deux lignes. Cette famille [formule] revient constamment — matrices de corrélation équicorrélées, matrices d'adjacence de graphes complets.